Caractérisation des signaux

Période : $\bf T$

Laps de temps au bout duquel le signal se répète à l'identique.

Fréquence : $\bf{f = 1/T}$

La fréquence s'exprime en Hertz ($\mathrm{Hz}$).

Valeur moyenne d'une tension $\mathrm{\bf{u : <u>}}$

Valeur efficace d'une tension $\mathrm{\bf{u : U}}$

Mathématiquement, la valeur efficace d'une grandeur périodique est définie par :

• Pour un courant $\mathrm{i : I = \sqrt{<I^2>}}$
• Pour une tension $\mathrm{u : U = \sqrt{<u^2>}}$

On s'intéresse à un signal périodique non sinusoïdal. Le théorème de Fourier stipule qu'un signal périodique peut être la somme de fonctions sinusoïdales, d'amplitudes et de fréquences déterminées.

Le signal périodique peut s'écrire sous la forme d'une somme :
$$\mathrm{\bf{{f(t) = a_0 +} \displaystyle{\sum^\infty_{n=1}a_n \cdot cos~(n \omega t) + b_n \cdot sin~(n \omega t),~n~\text{est un entier naturel}}}}$$

• $\mathrm{a_n}$ est donnée par : $\mathrm{a_0 = \bf{\frac{1}{T} \displaystyle{\int^T_0}f(t) \cdot dt}}$
• $\mathrm{a_n}$ est donnée par : $\mathrm{a_n = \bf{\frac{2}{T} \displaystyle{\int^T_0}f(t) \cdot cos~n \omega t \cdot dt}}$
• $\mathrm{b_n}$ est donnée par : $\mathrm{b_n = \bf{\frac{2}{T} \displaystyle{\int^T_0}f(t) \cdot sin~n \omega t \cdot dt}}$
  

$\Rightarrow$ Quand la fonction est paire, $\mathrm{b_n = 0}$
$\Rightarrow$ Quand la fontion est impaire, $\mathrm{a_n = 0}$ et $\mathrm{a_0 = 0}$

Cette décomposition peut se présenter sous la forme d'une répartition fréquentielle :

La fréquence du signal périodique étudiée est la même que la fréquence du fondamental :
$$\mathrm{\bf{f_{fondamental} = f_{signal}}}$$

Les harmoniques ont des fréquences multiples entières de la fréquence du fondamental :
$$\mathrm{\bf{f_n = n \cdot f_{signal} \quad \quad n \ge 1}}$$

Le taux de distorsion, encore appelé distorsion harmonique totale est défini comme le rapport de la valeur efficace globale des harmoniques (c'est-à-dire leur somme quadratique) à la valeur efficace de la composante fondamentale.

Il peut s’appliquer soit au courant soit à la tension.

$$\mathrm{TDH = \frac{\sqrt{H{^2_2} + H{^2_3} + ...}}{\sqrt{F{^2_1} + H{^2_2} + H{^2_3} + ...}}}$$

$\mathrm{F_1}$ : valeur du fondamental de fréquence $\mathrm{f_{fondamental} = f_{signal}}$
$\mathrm{H_2}$ : valeur du premier harmonique de fréquence $\mathrm{f_2 = 2 \cdot f_{signal} = 2 \cdot f_{fondamental}}$
$\mathrm{H_3}$ : valeur du deuxième harmonique de fréquence $\mathrm{f_3 = 3 \cdot f_{signal} = 3 \cdot f_{fondamental}}$

Il existe une seconde définition du $\mathrm{THD}$, pour laquelle le dénominateur ne prend en compre que la valeur efficace du fondamental :
$$\mathrm{THD = \frac{\sqrt{H{^2_2} + H{^2_3} + ...}}{F_1}}$$