Mécanique des fluides

La différence de pression statique ($\mathrm{\Delta P > 0}$) entre deux points quelconques ($1$ et $2$) est numériquement égale au poids d’une colonne verticale du liquide séparant les deux points ayant une section égale à l’unité et dont la hauteur est égale à la différence finie d’altitude entre ces deux points ($\mathrm{\Delta h > 0}$) :

$$\mathrm{\bf{P_1 + \rho~g~h_1 = P_2 + \rho~g~h_2}}$$

Débit massique :

Si $\mathrm{m}$ est la masse fluide qui a traversé une section de la conduite pendant l'intervalle de temps $\mathrm{t}$, le débit massique s'écrit : $\mathrm{q_m = \frac{m}{t}}$

Débit volumique :

Si $\mathrm{V}$ est le volume élémentaire de fluide qui a traversé une section droite de la conduite pendant l'intervalle de temps $\mathrm{t}$, le débit volumique s'écrit : $\mathrm{q_v = \frac{V}{t}}$

Relation entre $\mathrm{\bf{q_m}}$ et $\mathrm{\bf{q_v}}$ :

La masse volumique $\rho$ est donnée par la relation : $\mathrm{\rho = \frac{m}{V}}$ d'où :

$$\mathrm{\bf{q_m = \rho \cdot q_v}}$$

Vitesse moyenne :

En général la vitesse $\mathrm{v}$ n'est pas constante sur la section $\mathrm{S}$ d'un tube de courant ; on dit qu'il existe un profil de vitesse (dû aux forces de frottement). Le débit massique ou le débit volumique s'obtient en intégrant le débit élémentaire sur toute la surface $\mathrm{S}$.

Dans une section droite $\mathrm{S}$ de la canalisation, on appelle vitesse moyenne $\mathrm{\bf{V}}$ la vitesse telle que :

$$\mathrm{\bf{q_v = S \cdot v}}$$

Quand un fluide est incompressible, ce qui est approximativement vrai pour la plupart des liquides, sont débit volumique est constant même si la taille de la conduite ou du canal varie. Ainsi, si la vitesse du liquide est $\mathrm{v_1}$ quand la surface de la section droite est $\mathrm{S_1}$ et $\mathrm{v_2}$ quand celle-ci vaut $\mathrm{S_2}$, la condition de conservation du débit s'écrit :

$$\mathrm{\bf{v_1 \cdot S_1 = v_2 \cdot S_2}}$$

Au cours de l'écoulement d'un fluide parfait en régime permanent, l'énergie mécanique totale (somme des énergies cinétique, potentielle et pressente) se conserve. Il n'y a pas de frottement.
L'écoulement obéit au théorème de Bernouilli :

$$\mathrm{\bf{\frac{1}{2} \rho~v^2 + \rho~g~z + P = constante}}$$

Avec :

• $\rho$ : masse volumique du fluide (en $\mathrm{kg.m^{-3}}$)
• $\mathrm{v}$ : vitesse d'écoulement du fluide à l'endroit considéré (en $\mathrm{m.s^{-1}}$)
  
• $\mathrm{z}$ : altitude du fluide au point considéré (en $\mathrm{m}$)
  
• $\mathrm{P}$ : pression du fluide à l'endroit considéré (en $\mathrm{Pa}$)
  

Si $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ appartiennent tous les deux à une même ligne de champ.

L'équation de Bernouilli s'écrit entre deux points :

$$\mathrm{\bf{\frac{1}{2} \rho~v_A{^2} + \rho~g~z_A + P_A = \frac{1}{2} \rho~v_B{^2} + \rho~g~z_B + P_B}}$$