Transformateur monophasé

Le but d’un transformateur monophasé est de modifier la valeur efficace d’une tension ou d’obtenir une isolation galvanique : on passe donc d’une valeur efficace au primaire, $\mathrm{U_1}$, à une valeur efficace apparaissant au secondaire, $\mathrm{U_2}$, pouvant être identique ou différente de $\mathrm{U_1}$.

Le transformateur monophasé présente également un symbole :

Le bobinage du primaire est celui qui est alimenté : il est donc un récepteur. On adopte alors au primaire une convention récepteur.

Le bobinage du secondaire est celui qui alimente la charge : il est donc générateur. On adopte alors au secondaire une convention générateur.

$\mathrm{\bf{m}}$ : rapport de transformation du transformateur : $\mathrm{\bf{m = \frac{N_2}{N_1}}}$

Les valeurs efficaces des tensions primaire et secondaire vérifient la relation : $\mathrm{\bf{m = \frac{U_2}{U_1}}}$

Les valeurs efficaces des deux courants primaire et secondaire sont données par la relation : $\mathrm{\bf{m = \frac{I_1}{I_2}}}$

On suppose que le circuit magnétique est linéaire : les phénomènes de saturation sont donc limités. Le modèle équivalent peut donc être un modèle linéaire :

• $\mathrm{R_1}$ : résistance de l’enroulement primaire
• $\mathrm{R_2}$ : résistance de l’enroulement secondaire
• $\mathrm{l_1}$ : inductance de l’enroulement primaire
• $\mathrm{l_2}$ : inductance de l’enroulement secondaire
• $\mathrm{R_f}$ : résistance de fuite due aux courants de Foucault
• $\mathrm{L_f}$ : inductance de fuite due aux pertes de ligne de champ

À l’aide de cet essai, on obtient : $\mathrm{\bf{m = \frac{U_{2v}}{U_1}}}$

La puissance $\mathrm{P_{10}}$ absorbée par le primaire se répartie :

• Dans le circuit magnétique (pertes fer $\mathrm{F}$) ;
• Dans l’enroulement primaire sous forme de pertes par effet Joule ($\mathrm{R_1~I{^2_{1v}}}$)

Comme le courant $\mathrm{I_{1v}}$ est faible, les pertes joule sont négligeables devant les pertes fer.

L’essai à vide permet donc de déterminer les pertes fer : 

$$\mathrm{\bf{F = P_{1v}}}$$

Dans le cas où l’essai à vide n’est pas effectué à tension nominale, les pertes fer calculées ne sont pas les pertes fer calculées pour le régime nominal. Les pertes fer sont proportionnelles au carré de la valeur efficace de la tension $\mathrm{U_1}$.

$$\mathrm{\bf{F = k~U{_1^2}}}$$

Les pertes à vide s’écrivent en fonction de $\mathrm{R_f}$ à l’aide de la relation : 

$$\mathrm{\bf{F = \frac{U{^2_{1v}}}{R_f}}}$$ 

La mesure des grandeurs $\mathrm{P_{10}, ~I_{10}~et~U_{10}}$ permettent de calculer le facteur de puissance du transformateur en essai à vide : 

$$\mathrm{\bf{cos ~\varphi_{1v} = \frac{P_{10}}{U_{10} \cdot I_{10}}}}$$

On en déduit la puissance réactive consommée : 

$$\mathrm{\bf{Q_{10} = P_{10}~tan~\varphi_{10}}}$$

Les pertes de ligne de flux étant modélisées par Lf, cette grandeur est donnée par la relation :

$$\mathrm{\bf{Q_{10} = \frac{U{_{1v}^2}}{L_{f \omega}}}}$$ 

La tension appliquée à l’entrée est une tension $\mathrm{U_{1cc}}$, tension primaire de court circuit, très réduite devant $\mathrm{U_{1n}}$. Le secondaire est court-circuité. On alimente de façon à ce que le courant $\mathrm{I_{1cc}}$ soit très proche du courant nominal $\mathrm{I_{1n}}$. 

La puissance active mesurée est principalement une puissance dissipée par effet Joule dans le primaire et le secondaire. En effet, en court circuit, le courant secondaire $\mathrm{I_{2cc}}$ est égal à $\mathrm{m ~I_{1cc}}$ et n’est donc pas nul.

$$\mathrm{P_{1cc} = R_1~I{^2_{1cc}} + R_2~I{^2_{2cc}} = C}$$

Puisque :

$$\mathrm{I{^2_{1cc}} = m^2~I{^2_{2cc}},~C = R_1 ~m^2~I{^2_{2cc}} + R_2~I{^2_{2cc}} = (m^2 ~R_1 + R_2)~I{^2_{2cc}}}$$

On modélise alors le transformateur par le modèle suivant où $\mathrm{R_1}$ et $\mathrm{\ell_1}$ sont ramenés au secondaire :

Avec :

$$\mathrm{R_s = m^2~ R_1 + R_2~et~X_s = (m^2~\ell_1 + \ell_2) \omega}$$

Les pertes Joule sont donc données par : 

$$\mathrm{\bf{C = P_{1cc} = R_s~I{^2_{2cc}}}}$$

L’impédance $\mathrm{Z_s}$, impédance équivalente à l’association série de $\mathrm{R_s}$ er $\mathrm{X_s}$, est donnée par : 

$$\mathrm{\bf{Z_s = m^2 \frac{U_{1cc}}{I_{1cc}}}}$$ 

Il est possible alors de déterminer $\mathrm{X_s}$ par la relation : 

$$\mathrm{\bf{X_s = \sqrt{Z{^2_s} - R{^2_s}}}}$$

Au régime nominal, les courants $\mathrm{I_1}$ et $\mathrm{I_2}$ sont nettement supérieurs au courant à vide $\mathrm{I_{1v}}$. Par conséquent, on peut écrire en charge : 

$$\mathrm{\bf{I_1 = m~I_2}}$$

C’est l’hypothèse de Kapp.

Dans ce cas, le modèle du transformateur est :

Ce modèle alimente une charge consommant une puissance active $\mathrm{P_2}$, sous un facteur de puissance $\mathrm{\cos \varphi_2}$ :

On appelle chute de tension secondaire en charge la différence entre les valeurs efficaces de ces tensions :

$$\mathrm{\bf{\Delta U_2 = U_{2v} – U_2}}$$

La chute de tension secondaire peut être donnée par la relation suivante : 

$$\mathrm{\bf{\Delta U_2 = R_s~I_2~cos~\varphi_2 + X_s~I_2~sin~\varphi_2}}$$

Les puissances du transformateur se présentent sous la forme d’un tuyau percé :

Le rendement est donné par la relation : $\mathrm{\bf{\eta = \frac{P_2}{P_1}}}$. Il est toujours inférieur à $1$.