Triphasé

Les tensions simples sont les tensions entre la phase 1 et le neutre, la phase 2 et le neutre et la phase 3 et le neutre : $\mathrm{v_1, v_2 ~et~ v_3}$ 

Leurs valeurs instantanées ont pour expression :
$$\mathrm{v_1 = V \sqrt 2 \sin \omega t \\
v_2 = V \sqrt 2 \sin (\omega t - \frac {2 \pi}{3}) \\
v_3 = V \sqrt 2 \sin (\omega t + \frac{2 \pi}{3})}$$

Ces trois tensions étant sinusoïdales et de même fréquence, on peut les représenter dans un même plan de Fresnel :

$$\mathrm{\vec V_1\left \vert \begin{array}{c} \mathrm{{^V_0}} \end{array} \right.} \quad \quad \mathrm{\vec V_2 \left \vert \begin{array}{c} \mathrm{{^V_{-\frac{2 \pi}{3}}}} \end{array} \right.} \quad \quad \mathrm{\vec V_3\left \vert \begin{array}{c} \mathrm{{^V_{\frac{2 \pi}{3}}}}\end{array} \right.}$$

Remarque :

La somme $\mathrm{v_1 + v_2 + v_3}$ est nulle à chaque instant.

Les tensions composées sont les tensions entre deux phases. Leurs valeurs instantanées sont notées $\mathrm{u}$, avec en indice les numéros des phases concernés.

$$\mathrm{U_{12} = v_1 - v_2 \\
U_{23} = v_2 - v_3 \\
U_{31} = v_3 - v_1}$$

En écriture vectorielle :
$$\mathrm{\vec U_{12} = \vec V_1 - \vec V_2 \\
\vec U_{23} = \vec V_2 - \vec V_3 \\
\vec U_{31} = \vec V_3 - \vec V_1}$$

La consommation de Fresnel des trois tensions composées se dessine de la façon suivante :

La valeur efficace des tensions composées, notée $\mathrm{U}$, est liée à celle des tensions simples, notée $\mathrm{V}$, par la relation :

$$\mathrm{\bf {U = V} \sqrt 3}$$

Chaque dipôle du récepteur est placé entre une phase et le neutre, et est donc soumis à une tension simple. Chaque dipôle est traversé par un courant d'identité $\mathrm{i}$, parcourant la ligne d'alimentation, appelé pour cela courant de ligne.

Ces trois courants présentent la même valeur efficace et sont tous les trois déphasés du même angle par rapport aux tensions simples correspondantes.

Chaque dipôle du récepteur est placé entre deux phases et est donc soumis à une tension composée.
Chaque dipôle est parcouru par un courant d’intensité $\mathrm{J}$, différent de l’intensité $\mathrm{i}$ du courant en ligne. Ce courant $\mathrm{j}$ est appelé courant de phase.

Les courants de phase $\mathrm{j}$ sont déphasés par rapport aux tensions composées correspondantes $\mathrm{u}$. Ce déphasage est engendré par chacun des trois dipôles.

Les courants de ligne sont donnés en fonction des courants de phase :

$$\mathrm{i_1 = j_{12} – j_{31} \\
i_2 = j_{23} – j_{12} \\
i_3 = j_{31} – j_{23}}$$

En écriture vectorielle : 
$$\mathrm{\vec I_1 = \vec J_{12} - \vec J_{31} \\
\vec I_2 = \vec J_{23} - \vec J_{12} \\
\vec I_3 = \vec J_{31} - \vec J_{23}}$$ 

La représentation de Fresnel de l’ensemble de ces trois trio de grandeurs électriques est obtenu de la façon suivante :

• A partir du système de tensions simples, on trace le système des tensions composées.
• Les tensions simples n’intervenant pas dans le cas d’un couplage triangle, on effectue une rotation du motif représentant les tensions composées, de façon à ce que l’une d’entre elles présente une phase à l’origine nulle.
• On représente les courants de phase.
• À partir des égalités vectorielles précédentes, on trace les courants de ligne.

Le courant de ligne $\mathrm{i}$ présente une valeur efficace notée $\mathrm{i}$.
Le courant de phase présente une valeur efficace notée $\mathrm{J}$.
Il existe également une relation qui relie ces deux grandeurs efficaces :

$$\mathrm{\bf{I = J} \sqrt 3}$$

Ces relations sont vérifiées pour les deux couplages étoile et triangle :

• Puissance active totale absorbée par la charge triphasée :
  $$\mathrm{\bf{P_T = \sqrt 3~ U~I~cos~\varphi}}$$
• Puissance réactive totale absorbée par la charge triphasée :
  $$\mathrm{\bf{Q_T = \sqrt 3 ~U~I~sin ~\varphi}}$$
• Puissance apparente $\mathrm{S_T}$ totale absorbée par la charge triphasée :
  $$\mathrm{\bf{S_T = \sqrt 3~U~I}}$$

Remarque :

$$\mathrm{S_T = \sqrt{P{^2_T} + Q{^2_T}}}$$

Dans le cas où le facteur de puissance de l'installation triphasée ne répond pas aux exigences de EDF, il est nécessaire d'améliorer ce facteur de puissance de façon à ce qu'il se rapproche de $1$.

La mise en service de condensateur, comme en monophasé, permet cette amélioration du facteur de puissance.

Il est nécessaire de disposer de trois condensateurs identiques que l'on branchera en étoile ou en triangle. Pour déterminer la capacité des condensateurs, on utilise la méthode de Boucherot.

Condensateur en triangle

Le montage est le suivant :

La charge triphasée absorbe les puissances $\mathrm{P}$ et $\mathrm{Q}$.

Un condensateur, soumis à une tension composée $\mathrm{U}$, n'absorbe pas de puissance active et absorbe une puissance réactive $\mathrm{S_C = -C \omega U^2}$.

Par conséquent, les trois condensateurs absorbent une puissance réactive $\mathrm{Q_{3C} = -3 C \omega U^2}$. Le bilan des puissances est le suivant :

Le facteur de puissance de la charge triphasée est $\mathrm{\cos \varphi}$. Le facteur de puissance de l'ensemble charge triphasée $+3$ condensateurs est $\mathrm{\cos \varphi '}$.

Selon le triangle des puissances, $\mathrm{\tan \varphi '}$ est donné par : $$\mathrm{\tan \varphi ' = \frac{Q_T}{P_T}}$$

Or $\mathrm{Q_T = Q + Q_C}$ donc $\mathrm{\tan \varphi ' = \frac{Q + Q_C}{P} = \frac{Q}{P} + {Q_C}{P} = \tan \varphi + \frac{Q_C}{P}}$

Donc $\mathrm{\frac{Q_C}{P} = \tan \varphi ' - \tan \varphi}$

De plus $\mathrm{Q_C = -3~C \omega U^2}$ par conséquent : $\mathrm{-3~C \omega U^2 = P~(\tan \varphi ' - \tan \varphi)}$

L'expression de $\mathrm{C}$ est donné par : $$\mathrm{\bf{C = \frac{P}{3 \omega U^2}(tan ~\varphi - tan ~\varphi ')}}$$

Condensateurs en étoile

Le montage est le suivant :

À nouveau la charge triphasée absorbe les puissances $\mathrm{P}$ et $\mathrm{Q}$. Les trois condensateurs sont soumis à une tension simple et fournissent donc la puissance réactive $\mathrm{Q_{3C} = -3~C \omega V^2}$.

On démontre par la même méthode que précédemment l'expression de la capacité des trois condensateurs : $$\mathrm{\bf{C = \frac{P}{3 \varphi V^2}(tan~ \varphi - tan ~\varphi ')}}$$

Chaque phase d'un récepteur triphasé présente une résistance $\mathrm{r}$, à l'origine d'une dissipation de puissance par effet Joule.

Si la valeur de cette résistance est connue, les pertes Joule se calculent par :

• En étoile $\mathrm{P = 3~RI^2}$
• En triangle $\mathrm{P = 3~rJ^2}$.

Malheureusement, la résistance de phase n'est pas connue et l'on doit quantifier la résistance entre deux bornes du récepteur, ce qui est finalement déterminable, à l'aide d'un bon ohmmètre.

1. Dans le cas d'un montage en étoile :

2. Dans le cas d'un montage en triangle :

$$\mathrm{R = \frac{2}{3}~r ~\text{donc}~P = 3~rJ^2 = rI^2 = \frac{3}{2}RI^2}$$

Par conséquent, quel que soit le couplage, la puissance dissipée par effet Joule s'exprime en fonction de la résistance $\mathrm{R}$ mesurée entre deux bornes par la relation :
$$\mathrm{P = \frac{3}{2}RI^2}$$