On définit $T$ la variable aléatoire qui, à tout dispositif choisi au hasard, associe son temps de bon fonctionnement ou sa durée de vie avant défaillance. Pour simplifier, on choisit $t = 0$ comme origine des temps lorsque le dispositif est mis en marche pour la première fois. La variable $T$ est donc une variable aléatoire continue à valeurs dans $\left[0,+\infty\right[$. On note $f$ la densité de probabilité de la variable $T$.
Définition : Fonction de défaillance
La fonction de défaillance est la fonction $F$ définie pour tout $t \geq 0$ par $$F(t) = P(T \leq t)$$
Comme $P(T > t) = \overline{P(T \leq t)} = 1 - P(T \leq t) = 1-F(t)$, on définit :
Définition : Fonction de fiabilité
On appelle fonction de fiabilité $R$ définie pour tout $t \geq 0$ par $$R(t)=1-F(t) = P(T \geq t)$$
Remarque :
Dans la pratique, on ne connait pas (en général) les fonctions $F$ et $R$. Dans ce cas, on peut, à partir d’études statistiques, obtenir des estimations de $F(t)$ et $R(t)$ pour des valeurs de $t$ données.
Définition : Taux d’avarie instantané
On appelle taux d’avarie instantané à l’instant t le nombre $\lambda(t)$ défini pour tout $t \geq 0$ par $$\lambda(t) = \frac{f(t)}{R(t)}$$
Remarque :
Comme $R(t)=1-F(t)$, $R'(t) = -F'(t) = -f(t)$. Donc $\lambda(t) = -\frac{R'(t)}{R(t)}$.
On constate expérimentalement que, pour la plupart des matériels, la courbe représentative du taux d’avarie instantané $t \mapsto \lambda(t)$ a la forme donnée par une courbe appelée « courbe en baignoire » et comporte trois parties distinctes.
Définition: MTBF
On appelle « Moyenne des Temps de Bon Fonctionnement » (MTBF) l’espérance mathématique de la variable aléatoire T. On a donc $$MTBF = E(T) = \int_0^{+\infty}tf(t)d t$$
Fiabilité d’un système monté en série :
Pour un système constitués de n composants montés en série (le bon fonctionnement de chacun étant indépendant du bon fonctionnement des autres), on montre que l’on a$$R(T) =R_1(t) \times R_2(t) \times \ldots \times R_n(t)$$ où $R_1, R_2, \ldots, R_n$ sont les fonctions de fiabilités respectives des $n$ composants. (En effet, le système est défaillant dès qu’un seul composant est défaillant.)
Fiabilité d’un système monté en parallèle :
Pour un système constitués de n composants montés en parallèles (le bon fonctionnement de chacun étan tindépendant du bon fonctionnement des autres), on montre que l’on a $$F(T) =F_1(t) \times F_2(t) \times \ldots \times F_n(t)$$ où $F_1, F_2, . . ., F_n $sont les fonctions de défaillances respectives des $n$ composants. (En effet, le système est fonctionnel dès qu’un seul composant est fonctionnel.)
Loi exponentielle de paramètre $\lambda$ :
C'est une loi continue de densité $f(t) = \frac{1}{\lambda}e^{-\frac{t}{\lambda}}$ si $t \geq 0$ et $f(t)=0$ si $t<0$. Son espérance est $$E[X] = \frac{1}{\lambda}$$
