On définit T la variable aléatoire qui, à tout dispositif choisi au hasard, associe son temps de bon fonctionnement ou sa durée de vie avant défaillance. Pour simplifier, on choisit t=0 comme origine des temps lorsque le dispositif est mis en marche pour la première fois. La variable T est donc une variable aléatoire continue à valeurs dans [0,+∞[. On note f la densité de probabilité de la variable T.

Définition : Fonction de défaillance

La fonction de défaillance est la fonction F définie pour tout t≥0 par F(t)=P(T≤t)

Comme P(T>t)=¯P(T≤t)=1−P(T≤t)=1−F(t), on définit :

Définition : Fonction de fiabilité

On appelle fonction de fiabilité R définie pour tout t≥0 par R(t)=1−F(t)=P(T≥t)

Remarque :

Dans la pratique, on ne connait pas (en général) les fonctions F et R. Dans ce cas, on peut, à partir d’études statistiques, obtenir des estimations de F(t) et R(t) pour des valeurs de t données.

Définition : Taux d’avarie instantané

On appelle taux d’avarie instantané à l’instant t le nombre λ(t) défini pour tout t≥0 par λ(t)=f(t)R(t)

Remarque :

Comme R(t)=1−F(t), R′(t)=−F′(t)=−f(t). Donc λ(t)=−R′(t)R(t).

On constate expérimentalement que, pour la plupart des matériels, la courbe représentative du taux d’avarie instantané t↦λ(t) a la forme donnée par une courbe appelée « courbe en baignoire » et comporte trois parties distinctes.

Définition: MTBF

On appelle « Moyenne des Temps de Bon Fonctionnement » (MTBF) l’espérance mathématique de la variable aléatoire T. On a donc MTBF=E(T)=∫+∞0tf(t)dt

Fiabilité d’un système monté en série :

Pour un système constitués de n composants montés en série (le bon fonctionnement de chacun étant indépendant du bon fonctionnement des autres), on montre que l’on aR(T)=R1(t)×R2(t)×…×Rn(t)

où R1,R2,…,Rn sont les fonctions de fiabilités respectives des n composants. (En effet, le système est défaillant dès qu’un seul composant est défaillant.)

Fiabilité d’un système monté en parallèle :

Pour un système constitués de n composants montés en parallèles (le bon fonctionnement de chacun étan tindépendant du bon fonctionnement des autres), on montre que l’on a F(T)=F1(t)×F2(t)×…×Fn(t)

où F1,F2,...,Fnsont les fonctions de défaillances respectives des n composants. (En effet, le système est fonctionnel dès qu’un seul composant est fonctionnel.)

Loi exponentielle de paramètre λ :

C'est une loi continue de densité f(t)=1λe−tλ si t≥0 et f(t)=0 si t<0. Son espérance est E[X]=1λ