Fonctions d’une variable réelle et modélisation du signal

Fonction paire, fonction impaire et fonction périodique

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle D.

• $f$ est paire $\Leftrightarrow$ Pour tout $x\in$D, $-x\in$D et $f(-x) = f(x)$.
• $f$ est impaire $\Leftrightarrow$ Pour tout $x\in$D, $-x\in$D et $f(-x) = -f(x)$.
• $f$ est périodique de période T $\Leftrightarrow$ Pour tout $x\in$D, $x + \mathrm{T}\in$D et $f(x+\mathrm{T}) = f(x)$.
• Si $f$ est paire, alors sa représentation graphique est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• Si $f$ est impaire, alors sa représentation graphique est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Dérivées

La dérivée de la fonction :

$x \mapsto \tan(x)$ est $x \mapsto 1 +\tan^2(x)= \frac{1}{\cos^2(x)}$ sur $\mathbb{R}$\{$\frac{\pi}{2} + k\pi$} avec $k$ réel.

La dérivée de la fonction :

$x \mapsto \arctan(x)$ est $x\mapsto \frac{1}{1+x^2}$ sur $\mathbb{R}$.

La dérivée de la fonction :

$x \mapsto \cos(at + b)$ ($a$ et $b$ réels) est $x \mapsto -a\sin(at + b)$ sur $\mathbb{R}$.

La dérivée de la fonction :

$x \mapsto \sin(at + b)$ ($a$ et $b$ réels) est $x \mapsto a\cos(at + b)$ sur $\mathbb{R}$.

La dérivée de la fonction :

$x \mapsto \arctan(u)$ ($u$ dérivable sur D) est $x\mapsto \frac{u’(x)}{1+u^2(x)}$ sur D.