Probabilités 1

Probabilités conditionnelles

Soit $A$ et $B$ deux événements ($A$ de probabilité non nulle). La probabilité (conditionnelle) de l'événement $B$ sachant que l’événement $A$ est réalisé est $\displaystyle\mathrm{P}_{A} (B) = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)}$.

Loi binomiale

Soit $E$ une épreuve de Bernoulli (à 2 issues : succès et échec) et $p$ la probabilité du succès.

On répète $n$ fois, de manière indépendante, l'épreuve $E$ et on note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de succès (compris entre 0 et $n$).

On dit que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ (notée $B(n~ ; p)$).

Pour tout $k \in [0 ~; n]$, on a :

• $P(X = k) = \left(_{k}^{n}\right)$ ${p}^{k}$ ${q}^{n - k}$

• $E(X) = np$

• $V(X) = npq$ où $q = 1 - p$

• $\displaystyle \sigma(X) = \sqrt{n p q}$

Loi uniforme

La fonction de densité $f$ d'une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[a~ ; b] (a < b)$ est définie par $\displaystyle f(x) = \frac{1}{b - a}$ sur $[a~ ; b]$.

L'espérance de la variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[a~ ; b] (a < b)$ est $\displaystyle E(X) = \int_{a}^{b} \frac{x}{b - a} dx$ $\displaystyle = \frac{a + b}{2}$.

Loi normale centrée réduite $N(0~ ; 1)$

La fonction de densité de la loi normale centrée réduite $N(0~ ; 1)$ est définie par $\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{{x}^2}{2}}$ pour tout nombre réel $x$. Elle est continue, positive et paire sur l'ensemble des nombres réels.

Loi normale $N(\mu~ ; {\sigma}^2)$

La variable $X$ suit la loi normale $N(\mu~ ; {\sigma}^2)$ si la variable aléatoire $\displaystyle \frac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi centrée réduite $N(0~ ; 1)$.

Pour une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale $N(\mu~ ; {\sigma}^2)$ : 

• $P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0,68$ au centième près. 
• $P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0,95$ au centième près. 
• $P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0,997$ au millième près.