Séries de Fourier

$f$ est une fonction périodique de période $T$ c'est-à-dire $f(t+T)=f(t)$ pour tout réel $t$. On suppose de plus que $f$ est continue par morceaux sur $\mathbb{R}$.

Définition :

La série de Fourier associée à $f$ est la série :

$$a_0 + \sum_{n \ge1}\left[a_n\cos(n \omega t) + b_n\sin(n \omega t)\right]$$ avec $\omega =\frac{2\pi}{T}$ (la pulsation), $a_0=\frac{1}{T}\int_{\alpha}^{\alpha+T}f(t)dt$ et pour $n\geq 1$, $$a_n =\frac{2}{T}\int_{\alpha}^{\alpha+T}f(t)\cos(n\omega t)d t$$ et $$b_n = \frac{2}{T}\int_{\alpha}^{\alpha+T}f(t)\sin(n\omega t)d t$$

Remarque 1: 

La série de Fourier ne converge pas forcément.

Remarque 2:

Lorsque la série de Fourier converge, sa somme est une fonction (la somme dépend de la variable $t$) et non un nombre.

Remarque 3:

Lorsqu'on calcule les coefficients de Fourier $a_n$ et $b_n$, on peut prendre n'importe quel réel pour $\alpha$. En effet, les fonctions $t\mapsto f(t)\cos(n\omega t)$ et $t \mapsto f(t)\sin(n\omega t)$ sont $T$ périodiques donc l'aire sous la courbe de ces fonctions est la même sur tout segment de longueur la période $T$.

Propriétés des coefficients de Fourier :

- si $f$ est paire: $b_n =0$ et $a_0 = \frac{2}{T}\int_0^{\frac{T}{2}}f(t)d t$ et pour $n \geq 1$, $$a_n = \frac{4}{T}\int_0^{\frac{T}{2}}f(t)\cos(n\omega  t)d t.$$

- si $f$ est impaire: $a_n= 0$ et et pour $n \geq 1$, $$b_n =\frac{4}{T}\int_0^{\frac{T}{2}}f(t)\sin(n\omega t)d t.$$

Conditions de Dirichlet:

Une fonction périodique $f$ vérifie les conditions de Dirichlet si $f$ est de classe $C^1$ par morceaux sur $\mathbb{R}$ ce qui se traduit par :

1) sauf en un nombre fini de points particuliers sur une période, $f$ est dérivable et sa dérivée $f'$ est continue

2) en ces points particuliers, $f$ et $f'$ admettent des limites finies à gauche et à droite.

Théorème :

Si $f$ est une fonction périodique vérifiant les conditions de Dirichlet alors

1) si $f$ est continue en $t$ alors sa série de Fourier converge vers $f(t)$.

2) si $f$ n'est pas continue en $t$ alors sa série de Fourier converge vers $\frac{1}{2}\left[f(t^+)+f(t^-)\right]$.

$f(t^+)$ est la limite à droite de $f$ en $t$ (qui existe d'après les conditions de Dirichlet).

Théorème (Formule de Parseval) :

Si $f$ est une fonction périodique et continue par morceaux alors

$$\frac{1}{T}\int_0^T|f(t)|^2d t = a_0^2 + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n^2+b_n^2)$$