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Probabilités 1

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Probabilités discrètes

Probabilités conditionnelles

Soit A et B deux événements (A de probabilité non nulle). La probabilité (conditionnelle) de l'événement B sachant que l’événement A est réalisé est PA(B)=P(AB)P(A).

Loi binomiale

Soit E une épreuve de Bernoulli (à 2 issues : succès et échec) et p la probabilité du succès.

On répète n fois, de manière indépendante, l'épreuve E et on note X la variable aléatoire égale au nombre de succès (compris entre 0 et n).

On dit que X suit une loi binomiale de paramètres n et p (notée B(n ;p)).

Pour tout k[0 ;n], on a :

  • P(X=k)=(nk) pk qnk
  • E(X)=np
  • V(X)=npqq=1p
  • σ(X)=npq

Lois continues

Loi uniforme

La fonction de densité $f$ d'une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[a~ ; b] (a < b)$ est définie par $\displaystyle f(x) = \frac{1}{b - a}$ sur $[a~ ; b]$.

L'espérance de la variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[a~ ; b] (a < b)$ est $\displaystyle E(X) = \int_{a}^{b} \frac{x}{b - a} dx$ $\displaystyle = \frac{a + b}{2}$.

Loi normale centrée réduite $N(0~ ; 1)$

La fonction de densité de la loi normale centrée réduite $N(0~ ; 1)$ est définie par $\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{{x}^2}{2}}$ pour tout nombre réel $x$. Elle est continue, positive et paire sur l'ensemble des nombres réels.

Loi normale $N(\mu~ ; {\sigma}^2)$

La variable $X$ suit la loi normale $N(\mu~ ; {\sigma}^2)$ si la variable aléatoire $\displaystyle \frac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi centrée réduite $N(0~ ; 1)$.

Pour une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale $N(\mu~ ; {\sigma}^2)$ : 

  • $P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0,68$ au centième près. 
  • $P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0,95$ au centième près. 
  • $P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0,997$ au millième près. 

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