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Calcul vectoriel

📝 Mini-cours GRATUIT

Mini-cours 2 : Produit scalaire dans l'espace

Pour tout ce qui suit, on munit l'espace d’un repère orthonormé (O ; i ; j ; k).

Expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé
Pour u(x ; y ; z) et v(x ; y ; z), deux vecteurs de l'espace : uv = xx+yy+zz qui est un nombre réel.

Propriétés du produit scalaire
Pour u, v et w trois vecteurs de l'espace et un nombre réel k :

uv = vu ; (ku)v = u(kv) =k(uv).

Norme d’un vecteur
Pour u(x ; y ; z) un vecteur de l'espace, = .

Distance entre deux points
Pour et , deux points de l'espace :

= .

Vecteurs orthogonaux
Deux vecteurs de l'espace sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Mini-cours : Produit scalaire dans le plan

Pour tout ce qui suit, on munit l'espace d’un repère orthonormé (O ; $\vec{i}$ ; $\vec{j}$).

Définition du produit scalaire
Pour $\vec{u}$(x ; y) et $\vec{v}$(x’ ; y’) deux vecteurs non nuls du plan :

$\vec{u} \cdot \vec{v}$ = $\| \vec{u} \|$ $\| \vec{v} \|$ cos($\vec{u}$ ; $\vec{v}$)
Si l’un des deux vecteurs est nul, $\vec{u} \cdot \vec{v}$ = 0.

Expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé
Pour $\vec{u}$(x ; y) et $\vec{v}$(x’ ; y’) deux vecteurs du plan : $\vec{u} \cdot \vec{v}$ = xx’ + yy’ qui est un nombre réel.

Exemple : pour $\vec{u}$(2 ; -1), $\vec{v}$(1 ; 0) deux vecteurs du plan, $\vec{u} \cdot \vec{v}$ = 2$\times$1 + (-1)$\times$0 = 2.

Formules d’Al-Kashi
Soit ABC un triangle quelconque.
${\mathrm{BC}}^2$ = ${\mathrm{AB}}^2$ + ${\mathrm{AC}}^2$ - 2AB$\times$AC cos($\hat{\mathrm{A}}$)
${\mathrm{AB}}^2$ = ${\mathrm{AC}}^2$ + ${\mathrm{BC}}^2$ - 2AC$\times$BC cos($\hat{\mathrm{C}}$)
${\mathrm{AC}}^2$ = ${\mathrm{AB}}^2$ + ${\mathrm{BC}}^2$ - 2AB$\times$BC cos($\hat{\mathrm{B}}$)

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