Calcul intégral

Tableau de primitives

Définition et propriétés d’une intégrale

On considère une fonction $f$ continue sur l’intervalle $[a ~;~ b] (a < b)$ et on note $F$ une de ses primitives.On a :  $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$.
Pour $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l’intervalle $[a ~;~ b] (a < c < b)$ et un réel $k$ :

• $\displaystyle\int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx$ ;
  
• $\displaystyle\int_{a}^{b} k f(x) dx = k \int_{a}^{b} f(x) dx$ ;
• $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx$ ;
  
• $f(x) > 0$ sur $\displaystyle [a~ ;~ b] \Rightarrow \int_{a}^{b} f(x) dx > 0$ ;
• $f(x) > g(x)$ sur $\displaystyle[a~ ;~ b] \Rightarrow \int_{a}^{b} f(x) dx > \int_{a}^{b} g(x) dx$.

Aire entre deux courbes

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continue et telles que $f(x) < g(x)$ sur l’intervalle $[a~ ; ~b]$. L'aire de la surface délimitée par la courbe représentative de $f$, celle de $g$ et les droites d'équation $x = a$ et $x = b$ est $\displaystyle \int_{a}^{b} (g(x) - f(x)) dx$ (en unités d’aire).

Valeur moyenne

Soit $\mu$ la valeur moyenne d'une fonction $f$ continue sur l’intervalle $[a ~;~ b] (a < b)$.
On a $\displaystyle\mu = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x) dx$.