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Fonctions d'une variable

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Fonctions de référence

Fonction polynôme de degré 2

Elle est définie sur R par f(x) = ax2 + bx + ca, b et c sont trois réels, a non nul.

La droite d’équation x = b2a est axe de symétrie pour Cf, qui est une parabole.

  • Si a > 0, f est strictement décroissante sur ] ; b2a ] et strictement croissante sur [b2a ; +[ (la parabole est orientée vers le haut).
  • Si a < 0, f est strictement croissante sur ] ; b2a ] et strictement décroissante sur [b2a ; +[ (la parabole est orientée vers le bas).
  • f(b2a) = b2+4ac4a donc le sommet de la parabole est le point S(b2a ; b2+4ac4a).

Fonction exponentielle
La fonction exponentielle est la fonction xex.

Elle est définie, continue, dérivable, strictement croissante et strictement positive sur l'ensemble des nombres réels.

Fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien définie sur ]0;+[ est la fonction xln(x) où le nombre réel ln(x) est l’unique solution de l’équation ey=x d’inconnue y.

Asymptotes

Asymptote horizontale  

Elle existe lorsque $\lim_{x \to \pm infty} f(x)$ est finie (un réel $k$). L'asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ a alors pour équation $y = k$ en $\pm \infty$.

Asymptote verticale

Elle existe lorsque $\lim_{x \to k} f(x)$ = $\pm \infty$ ($k$ valeur interdite pour $f$). L'asymptote verticale à la courbe représentative de $f$ a alors pour équation $x = k$.

Asymptote oblique

Elle existe lorsque, pour une droite d’équation $y = ax + b$, on a $\lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - (ax + b)]$ = 0.

L'asymptote oblique à la courbe représentative de $f$ a donc pour équation $y = ax + b$.

Propriétés de l'intégrale

Définition et propriétés d’une intégrale

On considère une fonction $f$ continue sur l’intervalle $[a ; b] (a < b)$ et on note $F$ une de ses primitives. On a :  $\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$.

Pour $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l’intervalle $[a ; b] (a < c < b)$ et un réel $k$ :

  • $\int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx$.
  • $\int_{a}^{b} k f(x) dx = k \int_{a}^{b} f(x) dx$.
  • $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx$.
  • $f(x) > 0$ sur $[a ; b] \Rightarrow \int_{a}^{b} f(x) dx > 0$
  • $f(x) > g(x)$ sur $[a ; b] \Rightarrow \int_{a}^{b} f(x) dx > \int_{a}^{b} g(x) dx$.

Aire entre deux courbes

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continue et telles que $f(x) < g(x)$ sur l’intervalle $[a ; b]$. L'aire de la surface délimitée par la courbe représentative de $f$, celle de $g$ et les droites d'équation $x = a$ et $x = b$ est $\int_{a}^{b} (g(x) - f(x)) dx$ (en unités d’aire).

Valeur moyenne
Soit $\mu$ la valeur moyenne d'une fonction $f$ continue sur l’intervalle $[a ; b] (a < b)$.
On a $\mu = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x) dx$.

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