Fonction d'une variable réelle

Fonction polynôme de degré 2

Elle est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)$ = $ax^2$ + $bx$ + $c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels, $a$ non nul.

La droite d’équation $x$ = $\frac{-b}{2a}$ est axe de symétrie pour $C_f$, qui est une parabole.

• Si $a$ > 0, $f$ est strictement décroissante sur ]$-\infty$ ; $\frac{-b}{2a}$ ] et strictement croissante sur [$\frac{-b}{2a}$ ; $+\infty$[ (la parabole est orientée vers le haut).

• Si $a$ < 0, $f$ est strictement croissante sur ]$-\infty$ ; $\frac{-b}{2a}$ ] et strictement décroissante sur [$\frac{-b}{2a}$ ; $+\infty$[ (la parabole est orientée vers le bas).
• $f(\frac{-b}{2a})$ = $\frac{-b^2 + 4ac}{4a}$ donc le sommet de la parabole est le point S($\frac{-b}{2a}$ ; $\frac{-b^2 + 4ac}{4a}$).

Fonction exponentielle
La fonction exponentielle est la fonction $x \mapsto e^{x}$.

Elle est définie, continue, dérivable, strictement croissante et strictement positive sur l'ensemble des nombres réels.

Fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien définie sur $]0 ; + \infty[$ est la fonction $x \mapsto \ln(x)$ où le nombre réel $\ln(x)$ est l’unique solution de l’équation $e^{y} = x$ d’inconnue $y$.



Définition et propriétés d’une intégrale

On considère une fonction $f$ continue sur l’intervalle $[a ; b] (a < b)$ et on note $F$ une de ses primitives. On a :  $\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$.

Pour $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l’intervalle $[a ; b] (a < c < b)$ et un réel $k$ :

• $\int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx$.
• $\int_{a}^{b} k f(x) dx = k \int_{a}^{b} f(x) dx$.
• $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx$.
• $f(x) > 0$ sur $[a ; b] \Rightarrow \int_{a}^{b} f(x) dx > 0$
• $f(x) > g(x)$ sur $[a ; b] \Rightarrow \int_{a}^{b} f(x) dx > \int_{a}^{b} g(x) dx$.

Aire entre deux courbes

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continue et telles que $f(x) < g(x)$ sur l’intervalle $[a ; b]$. L'aire de la surface délimitée par la courbe représentative de $f$, celle de $g$ et les droites d'équation $x = a$ et $x = b$ est $\int_{a}^{b} (g(x) - f(x)) dx$ (en unités d’aire).

Valeur moyenne
Soit $\mu$ la valeur moyenne d'une fonction $f$ continue sur l’intervalle $[a ; b] (a < b)$.
On a $\mu = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x) dx$.

Asymptote horizontale  

Elle existe lorsque $\lim_{x \to \pm infty} f(x)$ est finie (un réel $k$). L'asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ a alors pour équation $y = k$ en $\pm \infty$.

Asymptote verticale

Elle existe lorsque $\lim_{x \to k} f(x)$ = $\pm \infty$ ($k$ valeur interdite pour $f$). L'asymptote verticale à la courbe représentative de $f$ a alors pour équation $x = k$.