Nombres complexes

Définition

Un nombre complexe $z$ est écrit sous forme algébrique si $z = a + b$i, où $a$ et $b$ sont deux réels et où $i$ est le nombre complexe tel que $i^2 = -1$.

$a$ est appelé la partie réelle de $z$ et est noté Re($z$) ; $b$ est appelé la partie imaginaire de $z$ et est noté Im($z$).

$\bar{z} = a - b$i est le nombre complexe conjugué de $z = a + b$i.

Equation du second degré dans $\mathbb {C}$

On considère l'équation du second degré dans $\mathbb{C}$ $az^2 + bz + c$ avec $a \neq 0$.
On pose $\Delta = b^2 - 4ac$ (discriminant de l'équation).

• Si $\Delta > 0$ l'équation a deux solutions réelles distinctes $\displaystyle z_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\displaystyle z_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Si $\Delta = 0$ l'équation a une solution réelle dite double $\displaystyle z = -\frac{b}{2a}$.
• Si $\Delta < 0$ l'équation a deux solutions complexes conjuguées distinctes $\displaystyle z_1 = \frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $\displaystyle z_2 = \frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

Forme trigonométrique

Un nombre complexe non nul z est écrit sous forme trigonométrique lorsque $z = r(\cos(\theta) + i \sin(\theta))$, $r \in {\mathbb{R}}_+^*$ et $\theta \in \mathbb{R}$.

$r = \rm{OM}$ est le module de $z$, noté $\mid z \mid$.

$\theta$ est un argument de $z$, noté $\arg(z)$. Il est défini à $2 \pi$ près (modulo $2 \pi$) et, géométriquement, c'est la mesure principale de l'angle orienté ($\vec{u}~ ; ~\overrightarrow{\mathrm{OM}}$) (en radians) dans le repère orthonormal direct $(\mathrm O ~; ~\vec{u}~ ; ~\vec{v})$.

Forme exponentielle

Un nombre complexe non nul $z$ est écrit sous forme exponentielle lorsque $z = re^{i\theta}$, où $r \in \mathbb{R}_+^*$ et $\theta \in ~]-\pi~ ; ~\pi]$.

Passage de la forme algébrique à la trigonométrique

Pour $z = a + b$i $\neq 0$,

• $\displaystyle r = \sqrt{a^2 + b^2}$ ;
  

• $\displaystyle \cos(\theta) = \frac{a}{r}$ et $\displaystyle \sin(\theta) = \frac{b}{r}$.
  

On utilise ensuite le cercle trigonométrique.

Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique

Pour $z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$, $a = r \cos(\theta)$ et $b = r \sin(\theta)$.