Définition de la transformée en z :

On considère un signal causal x(t) c'est-à-dire x(t) est une fonction telle que x(t)=0 si t<0. La transformée en z du signal x(t) est la fonction X de la variable complexe z définie par X(z)=+n=0x(n)zn

Si le signal x(t) n'est pas causal il faut étendre la somme : X(z)=+n=x(n)zn


Remarque :

La transformée en z, X(z), est une série entière de la variable complexe z1=1z.

Notation :

Parfois la transformée en z du signal x(t) s'écrit Z[x(n)](z).

Transformée en z usuelles :

  1. Échelon unité discret. C'est la suite (u(n)) définie par u(n)=1 si n0 et u(n)=0 si n<0. Alors la transformée en z est :Z[u(n)](z)=zz1 pour tout |z|>1.
  2. Suite de Dirac. C'est la suite (d(n)) définie par d(0)=1 et d(n)=0 si n0. Alors la transformée en z est : zC,Z[d(n)](z)=1.
  3. Rampe unité causale. C'est la suite (r(n)) définie par r(n)=n si n0 et 0 si n<0. Alors la transformée en z est Z[r(n)](z)=z(z1)2 pour |z|>1.

  4. Rampe au carré. C'est la suite (c(n)) définie par c(n)=n2 si n0 et 0 si n<0. Alors la transformée en z est Z[c(n)](z)=z(z+1)(z1)3 pour |z|>1.

  5. Suite géométrique. C'est la suite (anu(n)) avec a un réel non nul. La transformée en z est Z[anu(n)](z)=zza pour |z|>|a|.