Définition de la transformée en z :
On considère un signal causal x(t) c'est-à-dire x(t) est une fonction telle que x(t)=0 si t<0. La transformée en z du signal x(t) est la fonction X de la variable complexe z définie par X(z)=+∞∑n=0x(n)z−n
Si le signal x(t) n'est pas causal il faut étendre la somme : X(z)=+∞∑n=−∞x(n)z−n
Remarque :
La transformée en z, X(z), est une série entière de la variable complexe z−1=1z.
Notation :
Parfois la transformée en z du signal x(t) s'écrit Z[x(n)](z).
Transformée en z usuelles :
- Échelon unité discret. C'est la suite (u(n)) définie par u(n)=1 si n≥0 et u(n)=0 si n<0. Alors la transformée en z est :Z[u(n)](z)=zz−1 pour tout |z|>1.
- Suite de Dirac. C'est la suite (d(n)) définie par d(0)=1 et d(n)=0 si n≠0. Alors la transformée en z est : ∀z∈C,Z[d(n)](z)=1.
- Rampe unité causale. C'est la suite (r(n)) définie par r(n)=n si n≥0 et 0 si n<0. Alors la transformée en z est Z[r(n)](z)=z(z−1)2 pour |z|>1.
- Rampe au carré. C'est la suite (c(n)) définie par c(n)=n2 si n≥0 et 0 si n<0. Alors la transformée en z est Z[c(n)](z)=z(z+1)(z−1)3 pour |z|>1.
- Suite géométrique. C'est la suite (anu(n)) avec a un réel non nul. La transformée en z est Z[anu(n)](z)=zz−a pour |z|>|a|.