Transformation en z

Définition de la transformée en z :

On considère un signal causal $x(t)$ c'est-à-dire $x(t)$ est une fonction telle que $x(t)=0$ si $t<0$. La transformée en $z$ du signal $x(t)$ est la fonction $X$ de la variable complexe $z$ définie par $$X(z) = \sum_{n=0}^{+\infty}x(n)z^{-n}$$

Si le signal $x(t)$ n'est pas causal il faut étendre la somme : $$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)z^{-n}$$

Remarque :

La transformée en $z$, $X(z)$, est une série entière de la variable complexe $z^{-1}=\frac{1}{z}$.

Notation :

Parfois la transformée en $z$ du signal $x(t)$ s'écrit $Z[x(n)](z)$.

Transformée en $z$ usuelles :

1. Échelon unité discret. C'est la suite $(u(n))$ définie par $u(n)=1$ si $n\geq 0$ et $u(n)=0$ si $n<0$. Alors la transformée en $z$ est : $$Z[u(n)](z)=\frac{z}{z-1} \mbox{ pour tout }|z|>1.$$
2. Suite de Dirac. C'est la suite $(d(n))$ définie par $d(0)=1$ et $d(n) = 0$ si $n \neq 0$. Alors la transformée en $z$ est : $$\forall z \in \mathbb{C}, Z[d(n)](z) = 1.$$
3. Rampe unité causale. C'est la suite $(r(n))$ définie par $r(n)=n$ si $n\geq 0$ et $0$ si $n<0$. Alors la transformée en $z$ est $$Z[r(n)](z) = \frac{z}{(z-1)^2} \mbox{ pour }|z|>1.$$
   
4. Rampe au carré. C'est la suite $(c(n))$ définie par $c(n)=n^2$ si $n\geq 0$ et $0$ si $n<0$. Alors la transformée en $z$ est $$Z[c(n)](z) = \frac{z(z+1)}{(z-1)^3} \mbox{ pour }|z|>1.$$
   
5. Suite géométrique. C'est la suite $(a^nu(n))$ avec $a$ un réel non nul. La transformée en $z$ est $$Z[a^nu(n)](z) = \frac{z}{z-a} \mbox{ pour }|z|>|a|.$$