Transformation de Laplace

Définition:

La transformée de Laplace de la fonction $f$ est la fonction $F=\mathcal{L}f$ de la variable complexe $p$ définie par $$F(p)=\mathcal{L}f(p) = \int_0^{+\infty}f(t)e^{-pt}dt$$

Remarque :

Pour que $F$ existe, il faut que l'intégrale généralisée $\int_0^{+\infty}f(t)e^{-pt}dt$ converge.

Notation :

Parfois on note la transformée de Laplace $\mathcal{L}[f(t)]$.

Transformée de Laplace des fonctions usuelles:

Échelon unité : $t \mapsto U(t)$ définie par $U(t) = 0$ si $t<0$ et $U(t)=1$ si  $t \geq 0$. Alors $$\mathcal{L}[U(t)] = \frac{1}{p}$$

Rampe : $r:t \mapsto tU(t)$ c'est-à-dire $r(t)=0$ si $t<0$ et $r(t)=t$ si $t \geq 0$. Alors $$\mathcal{L}[tU(t)] = \frac{1}{p^2}$$

Monôme : $$\mathcal{L}[t^nU(t)] = \frac{n!}{p^{n+1}}$$ .

Exponentielle  : Soit $a$ un réel. pour tout complexe $p$ tel que $\Re(p)>a$, on a $$\mathcal{L}[e^{at}U(t)] = \frac{1}{p-a}$$

Cosinus : Soit $\omega$ un réel. $$\mathcal{L}[\cos(\omega t])U(t) = \frac{p}{p^2+\omega^2}$$

Sinus : Soit $\omega$ un réel. $$\mathcal{L}[\frac{1}{\omega}\sin(\omega t])U(t) = \frac{1}{p^2+\omega^2}$$