Fonctions d’une variable réelle et modélisation du signal

Fonction tangente

La fonction tangente (tracée en noir) est définie, continue et dérivable sur les intervalles $\displaystyle ]-\frac{\pi}{2} + k\pi ~ ; ~\frac{\pi}{2} + k\pi[$ avec $k$ réel.

Elle est périodique de période $\pi$.

Pour tout $\displaystyle x\in~]-\frac{\pi}{2} + k\pi~ ; ~\frac{\pi}{2} + k\pi[$ avec $k$ réel, $\displaystyle \tan'(x) = 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$.

La fonction tangente est impaire donc elle est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Fonction arctangente

La fonction arctangente (tracée en bleu) est la fonction réciproque de la tangente : pour tout réel $x$, arctan($x$) est l’unique réel de l’intervalle $\displaystyle]-\frac{\pi}{2}~ ; ~\frac{\pi}{2}[$ dont la tangente vaut $x$.

La fonction arctangente est définie, continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ car $\displaystyle \arctan’(x) = \frac{1}{1+x^2} > 0$.

La fonction arctangente est impaire donc elle est symétrique par rapport à l'origine du repère.