Statistique inférentielle

L’estimation ponctuelle consiste à estimer des paramètres d’une population (par exemple une moyenne) à partir des valeurs observées sur un échantillon de cette population.

Un test statistique (ou test d’hypothèse) permet de choisir entre deux hypothèses en fonction des résultats obtenus sur un ou deux échantillons par rapport à un risque $\alpha$ fixé à l’avance (a priori).

$H_0$= « Pas de différence » (hypothèse nulle)
$H_1$= « Il y a une différence » (hypothèse alternative)
Si on rejette $H_0$, on peut conclure qu’il y a une différence significative au risque $\alpha$.
Si on veut savoir s’il existe une différence quel que soit le sens de cette différence, on réalise un test bilatéral (par exemple : $H_1$ : $\mu_A\neq \mu_B$).
Si on souhaite privilégier un sens, on réalise un test unilatéral. On doit alors préciser l’hypothèse (par exemple : $H_1$ : $\mu_A > \mu_B$).

Méthode de résolution d’un test :
•    On formule les hypothèses $H_0$ et $H_1$ du test
•    On identifie le test à utiliser
•    On se fixe un risque $\alpha$ (par exemple 5%)
•    On vérifie les conditions de validité éventuelles du test
•    On calcule le paramètre du test $z$
•    On détermine la valeur seuil $z_\alpha$ en fonction du risque $\alpha$
•    On conclut le test : si $|z|\geq z_\alpha$, on rejette $H_0$.

A partir de l’estimation ponctuelle obtenue avec l’échantillon, on peut construire un intervalle de confiance qui va contenir la valeur du paramètre de la population avec un niveau de confiance fixé.

Intervalle de confiance d’une moyenne pour un paramètre suivant une loi $X$ :

Intervalle de confiance d’une proportion :

La valeur de $u_{\alpha}$ s’obtient dans la table de la loi normale centrée réduite. Elle vaut par exemple 1,96 lorsque l’on recherche un intervalle de confiance à 95% (donc $\alpha=5%$).