Équations différentielles

Equation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre

C’est une équation d’inconnue une fonction $y$ dérivable qui s’écrit sous la forme : $ay’(t) + by(t) = c(t) \mathrm{(E)}$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels, $a$ non nul, et $c$ une fonction continue.

Les solutions de cette équation sont les sommes d’une solution particulière de $\mathrm{(E)}$ et des solutions générales de l’équation $\mathrm{(E’)} ay’(t) + by(t) = 0$ sans second membre.

On a donc $y(t) = ke^{-\frac{b}{a} t} + y_0 (t)$ où $k$ est un nombre réel et $y_0$ une solution particulière de $\mathrm{(E)}$.

Equation différentielle linéaire du second ordre avec second membre

C’est une équation d’inconnue une fonction y deux fois dérivable qui s’écrit sous la forme : $ay’’(t) + by’(t) + cy(t) = d(t) \mathrm{(E)}$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels, $a$ non nul, et $d$ une fonction continue.

Les solutions de cette équation sont les sommes d’une solution particulière de $\mathrm{(E)}$ et des solutions générales de l’équation $\mathrm{(E’)} ay’’(t) + by’(t) + cy(t) = 0$ sans second membre.

On appelle $ar^2 + br + c = 0$ équation caractéristique de $\mathrm{(E’)}$.

• Si $\Delta > 0$, l’équation a deux solutions réelles $r_1$ et $r_2$ et les solutions générales de $\mathrm{(E’)}$ sont de la forme $y_0(t) = \mathrm{A} e^{r_1 t} + \mathrm{B} e^{r_2 t}$ où $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ sont des réels.
• Si $\Delta = 0$, l’équation a une seule solution $r = -\frac{b}{2a}$ et les solutions générales de $\mathrm{(E’)}$ sont de la forme $y_0(t) = (\mathrm{A} + \mathrm{B} t)e^{rt}$ où $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ sont des réels.
• Si $\Delta < 0$, l’équation a deux solutions complexes $r_1 = \alpha + i\beta$ et $r_2 = \alpha - i\beta$ et les solutions générales de $\mathrm{(E’)}$ sont de la forme $y_0(t) = (\mathrm{A} \cos(\beta t) + \mathrm{B} \sin(\beta t))e^{\alpha t}$ où $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ sont des réels.

1) Une équation différentielle

C'est une équation mélangeant une fonction inconnue notée $y$ et ses dérivées $y'$, $y''$, etc. Par exemple, $(y')^2 + \ln(y) = e^x$ ou $y'\sin(x) = y\cos(x)$ ou $x^2y'' -y' +1 = y$. Les deux premières sont dites du premier ordre car elles ne font intervenir que la dérivée première de $y$. La deuxième est du second ordre car elle fait intervenir la dérivée seconde de $y$. 

On ne s'intéresse à présent qu'aux équations différentielles du premier ordre. 

Parmi ces équations différentielles, il y en a qui s'appellent des équations différentielles à variables séparables. C'est celles du type $y'.g(y) = h(x)$. C'est-à-dire qu'on peut séparer les variables $x$ et $y$. On peut mettre d'un côté les $y$ et de l'autre les $x$ ce qui facilitera la résolution.

L'équation différentielle $(y')^2 + \ln(y) = e^x$ n'est pas à variable séparable à cause du carré sur le $y'$. Cette équation n'est pas du type $y'.g(y) = h(x)$.

En revanche, l'équation différentielle $y'\sin(x) = y\cos(x)$ est à variable séparable. En effet si on écrit $\displaystyle{\frac{y'}{y} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}}$ alors, en posant $\displaystyle{g(t) = \frac{1}{t}}$ et $\displaystyle{h(x) =\frac{\cos(x)}{\sin(x)}}$ , l'équation est bien du type $y'g(y) = h(x)$ .

2) Résolution d'une équation différentielle à variables séparables.

Soit $\mathrm{(E)} : y'.g(y) = h(x)$ une équation différentielle à variables séparables. On reconnait dans $y'g(y)$ la formule de dérivation de la fonction composée $G(y)$ où $G$ désigne une primitive de $g$. (En effet, $(G(y))' = G'(y) \times y' = g(y) y'$).

En primitivant des deux côtés de l'équation $\mathrm{(E)}$, on obtient : $G(y) = H(x)$ où $H$ désigne une primitive de la fonction $h$ (rappelons qu'une primitive est toujours définie à une constant près). 

Le problème revient donc à "tirer" $y$ en fonction de $x$ de la relation $G(y) = H(x)$.

3) Reprenons l'exemple de $y'\sin(x) = y\cos(x)$

Nous l'avons mis sous la forme $\displaystyle{\frac{y'}{y} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}}$. On primitive des deux côtés : $\ln(y) = \ln(\sin(x))+k$ (avec $k$ une constante quelconque). On a donc $y(x) = \exp(\ln(\sin(x)+k) = e^k\sin(x)$ donc les solutions sont les fonctions du type $y(x) = \lambda \sin(x)$ avec $\lambda$ une constante. 

Autre exemple. L'équation $y'-xe^{-y}=0$ est une équation différentielle à variables séparables car on peut la mettre sous la forme $y'e^y = x$. En intégrant des deux côtés: $\displaystyle{e^y = \frac{x^2}{2}+k}$. On a donc $\displaystyle{\ln(e^y) = \ln\left(\frac{x^2}{2}+k\right)}$ donc :

$\displaystyle{y(x) = \ln\left(\frac{x^2}{2}+k\right)}$.