Formule de Taylor, développements limités

But des développements limités (en abrégé d.l) : on cherche à approcher une fonction au voisinage d'un point par une fonction polynomiale. 

Définition :

Soit $f$ une fonction définie au voisinage d'un réel $a$. La fonction $f$ admet un développement limité d'ordre $n$ en $a$ s'il existe des réels $a_0$, $a_1$, $\ldots$, $a_n$ et une fonction $\epsilon$ tels que :

$f(x) = a_0 + a_1(x-a)+\ldots+a_n(x-a)^n+ (x-a)^n\epsilon(x)$ avec $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\epsilon(x)=0}$.

Remarque :

Un développement limité à l'ordre $1$ correspond à approcher la courbe $y=f(x)$ par sa tangente d'équation $y=f(a) + f'(a)(x-a)$.
En fait, il suffit de connaître les d.l en $0$. En effet, posons $h=x-a$ et $g(h) = f(x) = f(a+h)$. Effectuer le d.l de $f$ en $a$ revient à faire le d.l de $g$ en $0$. 

D.l usuels à connaître en $0$ :

$\displaystyle{\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots + x^n + x^n\epsilon(x)}$
$\displaystyle{\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 + \ldots + (-1)^nx^n + x^n\epsilon(x)}$
$\displaystyle{\ln(1+x) \stackrel{x \rightarrow 0}{=} x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \ldots + \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} + x^n\epsilon(x)}$
$\displaystyle{e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\ldots+\frac{x^n}{n!} + x^n\epsilon(x)}$
$\displaystyle{\cos(x) = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\ldots+\frac{(-1)^px^{2p}}{(2p)!} + x^{2p}\epsilon(x)}$
$\displaystyle{\sin(x) = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\ldots+\frac{(-1)^px^{2p+1}}{(2p+1)!} + x^{2p+1}\epsilon(x)}$

$\alpha$ étant un réel quelconque. 

$\displaystyle{(1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 +\ldots +  \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\ldots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + x^n\epsilon(x)}$

Opérations sur les d.l :

On peut faire toutes les opérations sur les d.l. (combinaisons linéaires, produit, quotient, composée). Lorsqu'on fait les calculs, on ne garde que les termes de degré $\le n$.
Exemple : calculer le d.l de $f(x) = \cos(x)\sin(x)$ à l'ordre $4$. On a :

$\displaystyle{f(x) = \left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!} + x^4\epsilon_1(x)\right)\times\left(x-\frac{x^3}{3!} + x^4\epsilon_2(x)\right)}$.

Lorsqu'on développe, on ne garde que les termes de degré $\le 4$ soit :

$\displaystyle{f(x) = x - \frac{2}{3}x^3 + \epsilon(x) x^4}$.

Applications : calcul de limite

Exemple : calculer $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} \left(\frac{1}{x}-\frac{\ln(1+x)}{x^2}\right)}$. Notons $\displaystyle{f(x) = \frac{1}{x}-\frac{\ln(1+x)}{x^2}}$. On calcule tout d'abord la somme des deux fractions :

$\displaystyle{f(x) = \frac{x^2-x\ln(1+x)}{x^3}}$. 

Effectuons le d.l du numérateur à l'ordre $3$ : 

$\displaystyle{x^2 -x\ln(1+x) = x^2-x(x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + x^3\epsilon(x)) = \frac{x^3}{2} + x^3\epsilon_1(x)}$.

Donc $\displaystyle{f(x) = \frac{1}{2} + \epsilon_1(x)}$ donc $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=\frac{1}{2}}$.