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Fractions rationnelles - Décomposition des fractions rationnelles

Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Par exemple $F(x) = \displaystyle{\frac{2x-1}{x^3-7x+1}}$ . Si on veut chercher une primitive (ou aussi dériver plusieurs fois) une fraction rationnelle, on est amené à décomposer la fraction en somme de fractions plus simples. Cette technique s'appelle la décomposition en éléments simples (DES). Nous allons la décrire en plusieurs étapes.

1) La première chose à faire est de faire un peu le ménage dans la fraction. Par exemple, avant de décomposer $\displaystyle{F(x) = \frac{x^4-x^2}{(x-1)^2}}$ , il faut d'abord simplifier la fraction. Pour cela, on factorise (il faut penser parfois aux identités remarquables) :

$\displaystyle{G(x) = \frac{x^2(x^2-1)}{(x-1)^2} = \frac{x^2(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} = \frac{x^2(x+1)}{x-1} }$ .

Donc la fraction que l'on décompose est $\displaystyle{G(x) = \frac{x^3+x^2}{x-1}}$ .

2) À partir de maintenant on supposera que notre fraction $F(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ est simplifiée au maximum. Si le numérateur $P$ a un degré $\geq$ au degré du dénominateur $Q$ alors il y a une partie entière. C'est-à-dire que $F$ se décompose en $F=E + G$ avec $E$ un polynôme et $G$ une fraction rationnelle qui a un dénominateur de degré $>$ que le degré du numérateur. Pour trouver $E$ et $G$ , on effectue la division euclidienne du polynôme $P$ par le polynôme $Q$ .

Voici un exemple simple où il n'y a pas besoin de division euclidienne : $\displaystyle{F(x) = \frac{x}{x+1}}$ . L'astuce consiste à faire apparaître au numérateur le dénominateur en écrivant $\displaystyle{F(x) = \frac{x}{x+1} = \frac{x+1-1}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} - \frac{1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}}$ (la partie entière est donc le polynôme constant $1$ ).

3) PÔLES SIMPLES.

Supposons à présent que notre fraction n'a pas de partie entière. On factorise le dénominateur. Par exemple soit :

$\displaystyle{F(x) = \frac{1}{x^2-x-2} = \frac{1}{(x+1)(x-2)}}$ .

Les valeurs d'annulation du dénominateur soit $-1$ et $2$ s'appellent des pôles de la fraction $F$ . Ici il s'agit de pôles SIMPLES car les facteurs $(x+1)$ et $(x-2)$ sont à la puissance $1$ .
La théorie nous dit alors que la DES de $F$ est du type $\displaystyle{F(x) = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x-2}}$ avec des coefficients $a$ et $b$ à chercher.
Une méthode serait de mettre tout sur le même dénominateur et d'identifier avec le numérateur de la fraction initiale qui est $1$ . Cette méthode est possible si il n'y a pas trop de fractions à additionner (ici il n'y a que deux fractions).
La méthode générale est la suivante : on définit la fraction :

$F_{-1}(x) = (x+1)F(x)$ soit $\displaystyle{F_{-1}(x) = \frac{1}{x-2}}$ .

(Remarque : on indice $F$ par le pôle. Ici le pôle est $-1$ donc on note $F_{-1}$ . Si le pôle était $5$ , on noterait $F_5$ ).
On a alors $a = F_{-1}(-1)$ ce qui donne ici $\displaystyle{a = \frac{1}{-1-2} = -\frac{1}{3}}$ .

De même, pour avoir $b$ , on définit $\displaystyle{F_2(x) = (x-2)F(x) = \frac{1}{x+1}}$ . Alors $\displaystyle{b= F_2(2) = \frac{1}{3}}$ . On a donc finalement :

$\displaystyle{F(x) = \frac{1/3}{x+1} + \frac{-1/3}{x-2} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-2}\right)}$ .

4) PÔLES DOUBLES.

Soit par exemple la fraction $\displaystyle{F(x) = \frac{4x^3}{x^4-2x^2+1}}$ (elle n'a pas de partie entière). On factorise le dénominateur. On remarque (ou pas !) que le dénominateur est une identité remarquable.

On a :

$x^4-2x^2+1 = (x^2-1)^2 = [(x-1)(x+1)]^2 = (x-1)^2(x+1)^2$ .

La fraction s'écrit donc $F(x) = \frac{4x^2}{(x-1)^2(x+1)^2}$ . Ici, $F$ a deux pôles $1$ et $-1$ . Mais comme les facteurs $x-1$ et $x+1$ sont au carré, on dit qu'il s'agit de pôles DOUBLES. La théorie dit alors que la DES de $F$ est du type :

$\displaystyle{F(x) = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{(x+1)^2} + \frac{c}{x-1} + \frac{d}{(x-1)^2}}$ .

Pour déterminer $a$ et $b$ , on définit à présent :

$F_{-1}(x) = (x+1)^2F(x) = \frac{4x^3}{(x-1)^2}$ .

On a alors la formule :

$b = F_{-1}(-1) = =\frac{-4}{(-1-1)^2} = -\frac{4}{4} = -1$ .

La théorie nous dit aussi que $a = F_{-1}'(-1)$ (la dérivée de $F_{-1}$ appliquée en $-1$ .)

Or $\displaystyle{F'_{-1}(x) = \frac{12x^2(x-1)^2-4x^32(x-1)}{(x-1)^4} = \frac{12x^2(x-1)-8x^3}{(x-1)^3}}$ (inutile de développer !). On remplace $x$ par $-1$ : $a = F_{-1}'(-1) = \frac{16}{8}=2$ donc $a=2$ .

Pour déterminer $c$ et $d$ , on définit à présent :

$F_{1}(x) = (x-1)^2F(x) = \frac{4x^3}{(x+1)^2}$ .

On a alors la formule :

$\displaystyle{d = F_{1}(1) = \frac{4}{(1+1)^2} = \frac{4}{4} = 1}$ .

La théorie nous dit aussi que $c = F_{1}'(1)$ . Or :

$\displaystyle{F'_{1}(x) = \frac{12x^2(x+1)^2-4x^32(x+1)}{(x+1)^4} = \frac{12x^2(x+1)-8x^3}{(x+1)^3}}$ .

On remplace $x$ par $1$ : $\displaystyle{c = F_{1}'(1) = \frac{16}{8}=2}$ donc $c=2$ .

Au final, on a donc :

$\displaystyle{F(x) = \frac{2}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{2}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2}}$ .

5) ÉLÉMENTS DE DEUXIÈMES ESPÈCES

Parfois le dénominateur présente des facteurs de degré $2$ qui ne se factorise pas (discriminant $<0$ ).
Dans ce cas, on dispose de quelques "astuces" pour faire la DES.

On considère par exemple la fraction :

$\displaystyle{F(x) = \frac{x}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}}$ .

Cette fraction ne présente pas de partie entière.

Pour factoriser le dénominateur, soit on voit une racine évidente, en l'occurrence $1$ , et on fait la division euclidienne du dénominateur par $x-1$ et on continue à factoriser.

Soit on écrit :

$x^4-2x^3+2x^2-2x+1 = x^4-2x^3+x^2+ x^2-2x+1 = x^2(x^2-2x+1) + (x^2-2x+1) = x^2(x-1)^2 + (x-1)^2 = (x^2+1)(x-1)^2$ .

On a donc :

$\displaystyle{F(x) = \frac{x}{(x^2+1)(x-1)^2}}$ .

La fraction $F$ a un pôle double qui est $1$ . Le facteur $x^2+1$ n'a pas de racines dans les réels. La théorie nous dit alors que la DES est de la forme :

$\displaystyle{F(x) = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{(x-1)^2} + \frac{cx+d}{x^2+1}}$ .

La fraction $\displaystyle{\frac{cx+d}{x^2+1}}$ s'appelle un élément de deuxième espèce.

Nous avons vu la méthode pour déterminer les coefficients $a$ et $b$ (cas d'un pôle double). Après calcul, on trouve, $a=0$ et $b=1/2$ .

Pour déterminer $c$ et $d$ , on utilise parfois les «astuces» suivantes. On calcule, par exemple, la limite en $+\infty$ de $xF(x)$ . Si on utilise la définition initiale de $F$ , on a :

$\displaystyle{xF(x) = \frac{x^2}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}}$ .

On sait que $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} xF(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2}{x^4}}$ (on prend le quotient des monômes de plus haut degré).

Donc :

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} xF(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{x^2} = 0}$ .

Si on utilise la DES :

$\displaystyle{xF(x) = \frac{ax}{x-1} + \frac{bx}{(x-1)^2} + \frac{cx^2+d}{x^2+1}}$ .

La 1ère fraction tend (en $+\infty)$ vers $a$ donc vers $0$ .

La 2ème fraction tend vers $0$ .

La 3ème fraction a la même limite que $\displaystyle{\frac{cx^2}{x^2}}$ (quotient des monômes de plus haut degré) donc vers $c$ .

On en déduit l'égalité $0 = 0 + 0 + c$ donc $c=0$ .

Pour déterminer $d$ on peut évaluer $F$ en un point par exemple en $0$ .

Si on utilise la définition initiale de $F$ , on a $F(0)=0$ .

Si on utilise la DES :

$F(0) = -a + b +d = -0 + 1/2 + d$ donc $0 = 1/2 +d$ donc $d=-1/2$ .

Finalement, on a :

$\displaystyle{F(x) = \frac{1/2}{(x-1)^2} + \frac{-1/2}{x^2+1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{(x-1)^2} - \frac{1}{x^2+1}\right)}$ .

Fonctions exponentielle et logarithme népérien

Fonction exponentielle

La fonction exponentielle est la fonction $x \mapsto e^{x}$. Elle est définie, continue, dérivable, strictement croissante et strictement positive sur l'ensemble des nombres réels. La fonction exponentielle est sa propre dérivée.

Propriétés :

$e^0 = 1$

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ : $e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$ ; $e^{-a} = \frac{1}{e^{a}}$ ; $e^{a - b} = \frac{e^{a}}{e^{b}}$ ; ${(e^{a})}^{n} = e^{n a}$ ($n$ entier naturel).

Pour une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$, $e^{u}$ est dérivable sur $I$ et $(e^{u})' = u’ \times e^{u}$ sur cet intervalle.

Fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien définie sur $]0 ; + \infty[$ est la fonction $x \mapsto \ln(x)$ où le nombre réel $\ln(x)$ est l’unique solution de l’équation $e^{y} = x$ d’inconnue $y$.

Elle est définie, continue, dérivable sur l’intervalle $]0 ; + \infty[$.

Pour tout $x \in\:]0 ; + \infty[$, $\ln’(x) = \frac{1}{x} > 0$ donc la fonction $\ln$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.

$\ln(1) = 0$ et $\ln x < 0$ pour $x \in \:]0 ; 1[$ et $\ln x >$ 0 pour $x \in \:]1 ; + \infty[$ car la fonction $\ln$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0 ; + \infty[$.

Propriétés :

Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs :

$\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$ ; $\ln(\frac{1}{b}) = -\ln(b)$ ; $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$ ; $\ln({a}^{n}) = n \ln(a)$ ($n$ entier naturel) ; $\frac{1}{2} \ln(a) = \ln(\sqrt{a})$.

Pour une fonction $u$ strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$, $\ln(u)$ est dérivable sur $I$ et $(\ln(u))’ = \frac{u'}{u}$ sur cet intervalle.

Opérations sur les dérivées

Dérivée d'un produit par un réel

Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et si $k$ est un réel, alors la fonction $k \times u$ est dérivable sur $I$ et on a :

$(k \times u)' = k \times u'$.

Exemple :

$u(x) = 3{x}^2 ; u'(x) = 3\times2x = 6x$.

Dérivée d'un produit

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ alors $u\times v$ est dérivable sur $I$ et on a :

$(u\times v)' = u'\times v + u\times v'$.

Exemple :

$f(x) = 3{x}^2(5x + 2)$$u(x) = 3{x}^2$, $u'(x) = 6x$. $v(x) = 5x + 2$, $v'(x) = 5$. $f '(x) = 6x(5x + 2) + 5\times3{x}^2 = 45{x}^2 + 12x$.

Dérivée d'une fonction rationnelle

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et si $v(x) \neq 0$ pour tout $x$ de $I$ alors $\frac{u}{v}$ est dérivable sur $I$ et on a :

$(\frac{u}{v})' = \frac{u' v - u v'}{{v}^2}$.

Exemple :

$f(x) = \frac{3{x}^2}{5x + 2}$. $u(x) = 3{x}^2$, $u'(x) = 6x$. $v(x) = 5x + 2$, $v '(x) = 5$.$f '(x) = \frac{6x(5x + 2) - 5\times 3{x}^2}{{(5x + 2)}^2}$.

Coordonnées cartésiennes

1) Coordonnées cartésiennes

Soit un repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ du plan ce qui signifie que $O$ est un point fixé du plan et $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ deux vecteurs non colinéaires (c-a-d non parallèles). Alors pour tout point $M$, il existe un unique couple de réels $(x,y)$ tel que $\overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j}$.

Le couple $(x,y)$ s'appelle les coordonnées cartésiennes du point $M$ (ou du vecteur $\overrightarrow{OM}$). Le réel $x$ s'appelle l'abscisse de $M$ et $y$ l'ordonnée de $M$.

2) Coordonnées polaires

Soit un repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ un repère orthonormé direct ce qui signifie que l'angle orienté entre les $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ est $\pi/2$ et ces vecteurs sont de longueur $1$ (on dit aussi de norme $1$).

Soit $M$ un point du plan différent de l'origine. On note $\theta$ la mesure de l'angle orienté entre les vecteur $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{OM}$.
On note $r=OM$.
Le couple $(r,\theta)$ s'appelle les coordonnées polaires du point $M$.

Remarque : elles ne sont pas uniques. En effet, si par exemple, le point $M$ a pour coordonnées polaires $\displaystyle{(2,\frac{\pi}{3})}$ alors $\displaystyle{(2,\frac{\pi}{3}+2\pi) = (2,\frac{7\pi}{3})}$ sont encore des coordonnées polaires de ce même point $M$ (c-a-d on peut ajouter ou retrancher un multiple entier de $2\pi$ à l'angle).

Passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes. Soit $M$ un point de coordonnées polaires $(r,\theta)$. Alors les coordonnées cartésiennes de $M$ sont données par les formules $x = r\cos\theta$ et $y = r \sin \theta$.

Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires. Soit $M$ un point différent de l'origine de coordonnées cartésiennes $(x,y)$. Prenons par exemple le point $M$ de coordonnées cartésiennes $(3,-3\sqrt{3})$. On commence par calculer la distance $OM$. On a :

$OM = \sqrt{3^2 + (-3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = 6$.

Ensuite on cherche un angle $\theta$ tel que $x = r\cos\theta$ et $y = r \sin \theta$ c-a-d tel que :

$\displaystyle{\cos \theta = \frac{3}{6}=\frac{1}{2}}$ et $\displaystyle{\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}}$.

On peut prendre par exemple $\displaystyle{\theta = -\frac{\pi}{3}}$. Un couple de coordonnées polaires de $M$ est donc par exemple $\displaystyle{(6,-\frac{\pi}{3})}$.

3) Coordonnées cylindriques

Soit l'espace muni d'un repère orthonormé direct. On considère un point $M$ qui n'est pas sur l'axe $(Oz)$.

On projette ce point $M$ perpendiculairement sur le plan horizontal $(xOy)$. Notons $H$ ce projeté.
Le point $H$ a des coordonnées polaires dans le plan $(xOy)$ qui sont $(r,\theta)$. Alors le triplet $(r,\theta,z)$ s'appelle les coordonnées cylindriques du point $M$.

Passage des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes. Soit $M$ un point de coordonnées cylindriques $(r,\theta,z)$. Alors les coordonnées cartésiennes $(x,y,z)$ de $M$ sont données par les formules $x = r\cos\theta$ et $y = r \sin \theta$ et $z=z$.

Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques. Soit $M$ un point de coordonnées cartésiennes $(x,y,z)$ qui n'est pas sur l'axe $(Oz)$. Alors les coordonnées cylindriques $(r,\theta,z)$ de $M$ sont données par les formules $r=\sqrt{x^2+y^2}$, $\theta = \arctan(y/x)$ et $z=z$.

4) Coordonnées sphériques

Soit l'espace muni d'un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$. On considère un point $M$ de l'espace. On note $\rho$ la distance $OM$ où $O$ est l'origine du repère. On projette orthogonalement le point $M$ sur le plan horizontal $(xOy)$. Notons $H$ le projeté. L'angle orienté entre les vecteurs $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{OH}$ se note $\theta$ et s'appelle la longitude. On le prend entre $0$ et $2\pi$.
L'angle entre les vecteurs $\overrightarrow{k}$ et $\overrightarrow{OM}$ se note $\varphi$ et s'appelle la colatitude et varie entre $0$ et $\pi$.
Le triplet $(\rho,\theta,\varphi)$ s'appelle les coordonnées sphériques du point $M$.

Le passage des coordonnées sphériques $(\rho,\theta,\varphi)$ aux coordonnées cartésiennes $(x,y,z)$ est :

$\left\{\begin{array}{lll}
x & = & \rho \sin(\varphi)\cos(\theta)\\
y & = & \rho \sin(\varphi)\sin(\theta)\\
z & = & \rho \cos(\varphi)\\
\end{array}\right.$

Remarque : au lieu d'utiliser la colatitude, on peut utiliser la latitude (comme le font les géographes) qui est l'angle $\delta \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ entre le vecteur $\overrightarrow{OH}$ et $\overrightarrow{OM}$.

La longitude est toujours définie de la même façon mais on choisit $\theta$ dans $[-\pi,\pi]$.

Le triplet $(\rho,\theta,\delta)$ s'appelle encore les coordonnées sphériques du point $M$.

Dans ce cas, le passage des coordonnées sphériques $(\rho,\theta,\varphi)$ aux coordonnées cartésiennes $(x,y,z)$ est:

$\left\{\begin{array}{lll}
x & = & \rho \cos(\delta)\cos(\theta)\\
y & = & \rho \cos(\delta)\sin(\theta)\\
z & = & \rho \sin(\delta)\\
\end{array}\right.$

Dérivées partielles et différentielles

1) Dérivée d'une fonction en un point.

Soit $f$ une fonction et $a$ un réel. On dit que la fonction $f$ est dérivable en $a$ si le quotient (appelé taux d'accroissement ou taux de variation) $\displaystyle{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$ tend vers une limite finie $L$ lorsque $h$ tend vers $0$. Cette limite se note $f'(a)$ et s'appelle le nombre dérivée de $f$ en $a$.

La droite d'équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ est l'équation de la tangente à la courbe $y=f(x)$ au point de coordonnées $(a,f(a))$.

Exemple.

Considérons la fonction $f(x)=x^2$ et montrons qu'elle est dérivable en $a=3$.

Le taux de variation de $f$ est $\displaystyle{\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \frac{(3+h)^2-3^2}{h} = 6+h}$ qui tend vers $6$ lorsque $h$ tend vers $0$. Donc la fonction $f$ est dérivable en $3$ et $f'(3)=6$.

2) Dérivée sur tout un intervalle

Une fonction $f$ est dérivable sur tout un intervalle de ${\Bbb R}$ si elle dérivable en tout point de cette intervalle.

Exemple.

On peut montrer que la fonction précédente, $f(x)=x^2$, est dérivable en tout point $a$ réel et que $f'(a)=2a$. On dit ainsi que $f$ est dérivable sur ${\Bbb R}$ et on définit une nouvelle fonction appelée la fonction dérivée $f'(x)=2x$.

3) Le signe de la dérivée d'une fonction $f$ permet d'obtenir les variations de $f$.

Si $f' \ge 0$ sur un intervalle $I$ alors $f$ est croissante sur $I$. Si $f' \le 0$ sur un intervalle $I$ alors $f$ est décroissante sur $I$.

Exemple : la fonction $f(x)=x^2$ est croissante sur $]0,+\infty[$ et décroissante sur $]-\infty,0[$ car $f'(x)=2x$ est positive sur $]0,+\infty[$ et négative sur $]-\infty,0[$.

4) Dérivée partielle

Soit $f$ une fonction de plusieurs variables. Par exemple :

\[f(x,y,z) = 2x+xyz - 2xe^{x^2+yz}.\]

On fixe les variables $y$ et $z$ c'est-à-dire on les considère comme constante. On obtient une fonction de la variable $x$ :

\[a(x) = 2x+xyz - 2xe^{x^2+yz}.\]

La dérivée partielle de $f$ par rapport à la variable $x$, notés $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}$, est $a'(x)$ autrement dit c'est la dérivée de $f$ lorsqu'on considère $y$ et $z$ comme des constantes.

Exemple avec $f$ précédent.

\[\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x} = 2+yz -2e^{x^2+yz}-2x(2x)e^{x^2+yz}} \\\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}=2+yz -2e^{x^2+yz} -4x^2 e^{x^2+yz}},\]

\[\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y} = xz - 2xze^{x^2+yz}}\text{ et }\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial z} = xy - 2xye^{x^2+yz}}.\]

5) Différentielle

La formule de Taylor-Young pour les fonctions d'une variable se généralise aux fonctions de plusieurs variables par la formule suivante :

\[\displaystyle{f(x_1+dx_1,\ldots,x_n+dx_n) \approx f(x_1,\ldots,x_n) +\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1
+\ldots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n.}\]

Les $dx_i$ représente une petite variation de la variable $x_i$.

La quantité $\displaystyle{df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+\ldots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n}$ s'appelle la différentielle de $f$ et permet de mesurer la variation d'une grandeur $f$ lorsqu'on les variables
sont modifiés de façon infinitésimale :

\[\displaystyle{\Delta(x_1,\ldots,x_n) = f(x_1+dx_1,\ldots,x_n+dx_n) - f(x_1,\ldots,x_n) \approx df.}\]

6) Calcul d'incertitude

On montre que lorsqu'une quantité $g$ dépend de plusieurs autres grandeurs $l_1, \ldots, l_n$ par une relation mathématique du genre $g = f(l_1,\ldots,l_n)$ alors l'incertitude des mesures des grandeurs $l_i$ notée $u(l_i)$ se transmet à l'incertitude globale $u(g)$ sur $g$ par la formule :

\[\displaystyle{u(g) = \sqrt{\sum_{i}\left(\frac{\partial f}{\partial l_i}\right)^2 u^2(l_i)}.}\]

Par exemple, on considère la grandeur $C_2$ qui dépend des grandeurs $V_1$, $V_2$ et $C_1$ par la relation $\displaystyle{C_2 = \frac{V_1}{V_2}C_1 = f(V_1,C_1,V_2)}$. Ici la fonction $f$ est $\displaystyle{f(x,y,z) = \frac{x}{z}y}$.

Calculons les dérivées partielles de $f$ :

\[\begin{array}{lll}\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial V_1} = \frac{C_1}{V_2}},\\ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial C_1} = \frac{V_1}{V_2}}\\
\text{et}\\
\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial V_2} = -\frac{C_1V_1}{V_2^2}.}\end{array}\]

L'incertitude sur $C_2$ est :

\[u(C_2) =\\ \displaystyle{
\sqrt{
\left(\frac{\partial f}{\partial V_1}\right)^2u(V_1)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial C_1}\right)^2u(C_1)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial V_2}\right)^2 u(V_2)^2}.}\]

Donc :

\[\displaystyle{u(C_2) = \sqrt{\frac{C_1^2}{V_2^2}u(V_1)^2 + \frac{V_1^2}{V_2^2}u(C_1)^2 + \frac{C_1^2V_1^2}{V_2^4}u(V_2)^2 }.}\]

En générale, seule l'incertitude relative est pertinente: $\displaystyle{\frac{U(C_2)}{C_2}}$. Sachant que $\displaystyle{C_2 = \frac{V_1}{V_2}C_1}$, on obtient après calcul :

\[\displaystyle{\frac{u(C_2)}{C_2} = \sqrt{\frac{u(V_1)^2}{V_1^2} + \frac{u(V_2)^2}{V_2^2} + \frac{u(C_1^2)}{C_1^2}}.}\]

Calcul intégral

On considère une fonction $f$ dérivable sur l’intervalle $[a ; b] (a < b)$ et on note $F$ une de ses primitives.
On a :

\[\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a).\]

Propriétés :

Pour $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l’intervalle $[a ; b] (a < c < b)$ et un réel $k$ :

\[\displaystyle \int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \displaystyle \int_{a}^{b} g(x) dx.\\
\displaystyle \int_{a}^{b} k f(x) dx = k \int_{a}^{b} f(x) dx.\\
\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx.\\
f(x) > 0\text{ sur }[a ; b] \Rightarrow \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx > 0\]