Mécanique des fluides

1. Equations différentielles du premier ordre

Les solutions de l’équation différentielle :

$$y’+ay=b$$

Avec $a$ et $b$ des constantes.

Sont les fonctions $y$ de la forme :

$$\displaystyle y(t)=\lambda e^{-at}+\frac{b}{a}$$

Avec $\lambda$ une constante à déterminer grâce aux conditions initiales.

2. Equations différentielles du second ordre

On considère l’équation différentielle :

$$ay’’+by’+cy=0$$

Avec $a$, $b$ et $c$ des constantes.

Le polynôme caractéristique de cette équation est :

$$P(X)=aX^2+bX+c$$

Le discriminant de ce polynôme est :

$$\Delta = b^2-4ac$$

• Si $\Delta>0$ alors $P$ admet deux racines réelles $X_1$ et $X_2$, les solutions de l’équation différentielle sont alors les fonctions $y$ de la forme :
  $$y(t)=\lambda e^{X_1t} + \mu e^{X_2t}$$
• Si $\Delta=0$ alors $P$ admet une racine double $X_0$, les solutions de l’équation différentielle sont alors les fonctions $y$ de la forme :
  $$y(t)=(\lambda + \mu t) e^{X_0t}$$
• Si $\Delta<0$ alors $P$ admet deux racines complexes conjuguées $X_1=X_0+j\omega$ et $X_2=X_0-j\omega$, les solutions de l’équation différentielle sont alors les fonctions $y$ de la forme :
  $$y(t)=e^{X_0t} [\lambda cos(\omega t) + \mu sin(\omega t) ]$$ Avec $\lambda$ et $\mu$ deux constantes à déterminer grâce aux conditions initiales.
  

1. Équation de Navier-Stockes

Elle s'applique dans le cas de l'écoulement d'un fluide newtonien de viscosité $\eta$ dans un référentiel galiléen. Son expression est obtenue à partir du principe fondamental de la dynamique :
\[\displaystyle \rho\frac{D\vec{v}}{Dt}=\vec{f_v}-\vec{grad p}+\eta \vec \Delta \vec v\] Avec $\vec{f_v}$ la résultante des forces volumiques autre que celles de pression.

2. Équation d'Euler

Elle s'applique dans le cas d'un écoulement parfait (c'est-à-dire avec un grand nombre de Reynolds et en dehors de la couche limite) dans un référentiel galiléen. Son expression est identique à l'équation de Navier-Stockes sans le terme de force volumique de viscosité :
\[\displaystyle \rho\frac{D\vec{v}}{Dt}=\vec{f_v}-\vec{grad p}\]

3. Théorème de Bernoulli

Il s'applique dans le cas d'un écoulement ayant les caractéristiques suivantes :

• Parfait (effets visqueux négligeables)
• Incompressible (masse volumique reste constante)
• Stationnaire 

\[\frac{v^2}{2}+e_{pm}+\frac{p}{\rho}=\text{constante}\] Avec $e_{pm}$ l'énergie potentielle massique.
Souvent $e_{pm}$ se réduit à l'énergie potentielle massique de pesanteur seulement. Dans ce cas :
\[\displaystyle \frac{v^2}{2}+gz+\frac{p}{\rho}=\text{constante}\]