Nombres complexes

Définition

Un nombre complexe z est écrit sous forme algébrique si $z = a + bi$, où $a$ et $b$ sont deux réels et où i est le nombre complexe tel que $i^2$ = -1.

$a$ est appelé la partie réelle de $z$ et est noté $Re(z)$ ; $b$ est appelé la partie imaginaire de $z$ et est noté $\Im(z)$.

Un nombre complexe non nul $z$ est écrit sous forme trigonométrique lorsque $z = r(\cos(\theta) + i \sin(\theta))$, $r \in {\mathbb{R}}_+^*$ et $\theta \in \mathbb{R}$.

$r$ est le module de $z$, noté $\mid z \mid$. Il s'agit toujours d'un réel strictement positif car, géométriquement, c'est la distance entre l'origine $O$ et le point $M$ d'affixe $z$.

$\theta$ est un argument de $z$, noté $\arg(z)$. Il est défini à $2\pi$ près (modulo $2\pi$) et, géométriquement, c'est la mesure principale de l'angle orienté ($\vec{u}$ ; $\overrightarrow{\mathrm{OM}}$) (en radians) dans le repère orthonormal direct ($0$ ; $\vec{u}$ ; $\vec{v}$).

Propriétés

Pour tous les nombres complexes ${z}_1$ et ${z}_2$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$, on a :

$\mid {z}_1 \times {z}_2 = \mid {z}_1 \mid \times \mid {z}_2 \mid$

$\arg({z}_1 \times {z}_2) = \arg({z}_1) + \arg({z}_2) (2\pi)$

$\mid {{z}_1}^{n} \mid = {\mid {z}_1 \mid}^{n}$

$\arg({{z}_1}^{n}) = n \times \arg({z}_1) (2\pi)$

Forme exponentielle

Un nombre complexe non nul z est écrit sous forme exponentielle lorsque $z = r e^{i\theta}$, où $r \in {\mathbb{R}}_+^*$ et $\theta \in ]-\pi~ ; \pi]$.

Passage de la forme algébrique à la trigonométrique

Pour $z = a + bi \neq 0, r = \sqrt{a^2 + b^2}$

$\cos(\theta) = \frac{a}{r}$ et $\sin(\theta) = \frac{b}{r}$ 

On utilise ensuite le cercle trigonométrique pour déterminer $\theta$.

Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique

Pour $z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$, on a $z = a + bi$ avec :

$a = r \cos(\theta)$ et $b = r \sin(\theta)$.