Indépendance statistique, loi des grands nombres, théorème central limite

Somme de variables aléatoires indépendantes

La somme de deux variables aléatoires indépendantes binomiales de lois respectives $B(n_1 ;p)$ et $B(n_2 ;p)$ suit la loi binomiale $B(n_1+n_2 ;p)$.

La somme de $n$ variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres $\lambda_1 ;\lambda_2 ;…\lambda_n$ suit une loi de Poisson de paramètre $\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i$.

La somme de $n$ variables aléatoires indépendantes suivant des lois normales de paramètres $(\mu_1 ;\sigma_1)$, $(\mu_2 ;\sigma_2)$,…$(\mu_n ;\sigma_n)$ suit une loi normale de paramètres :

$\left(\displaystyle \sum_{i=1}^n \mu_i ;\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^n \sigma_i^2}\right)$.

La somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois du $\chi^2$ à respectivement $n_1$ et $n_2$ degrés de liberté est une loi du $\chi^2$ à $n_1+n_2$ degrés de liberté.

Théorème central limite

La moyenne $M$ de $X$, variable quantitative, sur un échantillon de taille $n$ suit une loi normale $N\left(\mu,\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$ quand $n$ tend vers l’infini.

Le théorème est applicable si $n>30$ et $X$ suit une loi quelconque ou si $X$ suit une loi normale.