Mouvement de particules chargées dans les champs électrique et magnétique

Pour étudier le mouvement d’une particule dans un champ électrique / champ magnétique, on tiendra compte de la force de Lorentz.

1. La force de Lorentz

Cette force traduit l’interaction d’un champ électromagnétique avec une particule chargée. Elle est donc composée de deux contributions de nature différentes: la force électrique $q \vec E$ et la force magnétique $q \vec v \wedge \vec B$. La force de Lorentz s’écrit donc :

$\vec F = q\vec E + q \vec v \wedge \vec B$

2. Système d’équations différentielles couplées

Dans le cas général d’une particule chargée soumise à un champ électromagnétique, on ne peut pas déterminer a priori sa trajectoire, il faut systématiquement la seconde loi de Newton.

La projection de cette dernière mène à un système d’équations différentielles couplées.

Pour ordonner les équations, il peut être intéressant de choisir comme variable les composantes de la vitesse.

3. Résolution du système d’équations différentielles couplées

Pour intégrer le système obtenu précédemment, on pourra utiliser deux méthodes :

• La méthode de substitution consistant à intégrer l’une des relations en tenant compte des conditions initiales puis de reporter le résultat dans la seconde équation. La deuxième équation qui ne dépendra alors que d’une seule variable pourra être résolue.
• La méthode complexe consistant à poser une grandeur complexe judicieusement choisie de telle sorte à se ramener à une seule équation différentielle portant sur la variable complexe choisie.

4. Équations horaires et équation de la trajectoire

L’intégration du système permet d’obtenir les équations horaires. Concernant l’équation de la trajectoire, pour l’exprimer, il faut éliminer la variable "temps" entre les équations horaires.