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Portiques isostatiques et hyperstatiques d’ordre 1

📝 Mini-cours GRATUIT

Étude d’un portique isostatique

Le portique ci-dessous est en béton. Pour les besoins de la modélisation, la structure sera considérée comme filaire (pas d’épaisseur).

Les caractéristiques géométriques (E,I) ne seront utiles que pour l’évaluation des déformées de la structure.

On ne tiendra pas compte du poids propre de la structure.

Questions :

  1. Calculer l’hyperstatisme du système.
  2. Calculer littéralement les actions mécaniques aux appuis (XA,YA,XD,YD).
  3. En déduire les valeurs numériques.
  4. Pour la structure ABBCCD, écrire les équations des efforts normaux. Tracer le diagramme de N(x).
  5. Pour la structure ABBCCD, écrire les équations des efforts tranchants. Tracer le diagramme de V(x).
  6. Pour la structure ABBCCD, écrire les équations des efforts moments fléchissants. Tracez le diagramme de M(x).
  7. Définir les conditions de rigidité en B et C. Comparer les valeurs des moments fléchissants en B et C pour les poteaux et la partie poutre.

Résolution du portique isostatique – Questions 1 à 3

1. Hyperstatisme du système

Articulation à gauche $\rightarrow 2$ inconnues de liaison.

Appui simple à droite $\rightarrow 1$ inconnue de liaison.

$d=\rm I−E=3−3=0$

Le système est isostatique.

2. et 3. Calcul des actions mécaniques aux liaisons

$\rm X_A=2 \mathcal q_1 h=2\times 250 \times 5,90 = 2~950~daN$ dans le sens de $-x$.

$\displaystyle \rm \sum F_{verticales}=0$ $\rm \Rightarrow Y_A + Y_B − \mathcal q_2\mathcal l$ $= 0$

$\displaystyle \rm\sum M_{/A} = 0$ $\rm \Rightarrow Y_D\mathcal l − 2\mathcal q_1 h \times \dfrac{h}{2} − \mathcal q^2 \mathcal l \times \dfrac{\mathcal l}{2} = 0$
$\Rightarrow \mathrm{Y_D} = \dfrac{1}{l} \times \left(q_1\mathrm h^2 + q_2 \dfrac{l^2}{2}\right)$ $= \dfrac{1}{8,80} \times \left(250 \times 5,90^2 + \dfrac{500 \times 8,80^2}{2}\right)$ $\rm = 3~188,92~daN$

$\rm Y_A = \mathcal q^2 \mathcal l − Y_D$ $= 500 \times 8,80 − 3~188,92$ $\rm = 1~211,08~daN$

Simulation avec le logiciel PyBar.

Schématisation des données :

Résolution du portique isostatique – Question 4

4. Équations et diagrammes des efforts normaux

Poteau AB :

$0 \leq x \leq \mathrm h$
$\displaystyle \mathrm N_{(x)} = −\sum \rm F_{\text{G // fibre neutre }}$
$\displaystyle \mathrm N_{(x)} = −\sum \rm F_{GV}=−Y_A$
$\mathrm N_{(x)} = \rm −12~110,08~daN$

Poutre BC :

$0 \leq x \leq l$
$\displaystyle \mathrm N_{(x)} = −\sum \rm F_{\text{G // fibre neutre}}$
$\mathrm N_{(x)} = \rm −\sum F_{GH}$
$\mathrm N_{(x)} = −q_1 \rm h + X_A$
$\mathrm N_{(x)} = −250\times 5,90 + 2~950$
$\mathrm N_{(x)} = \rm 1~475~daN$

Poteau CD :

$0 \leq x \leq \rm h$
$\mathrm N_{(x)} = \displaystyle \rm + \sum F_{\text{D // fibre neutre}} = +\sum F_{DV}$
$\mathrm N_{(x)} = −\mathrm{Y_D} = \dfrac{1}{l}\left(q_1 \mathrm h^2+q_2 \dfrac{l^2}{2}\right)$ $\rm =−3~188,92~daN$

Résolution du portique isostatique – Question 5

5. Équations et diagrammes des efforts tranchants

Poteau AB :

$0 \leq x \leq \mathrm h \Rightarrow V_{(x)}$ $\rm\displaystyle = −\sum F_{G \bot \text{ fibre neutre}}$ $\rm\displaystyle = −\sum F_{GH}$ $\rm = −X_A + \mathcal q_1\mathcal x$ $=−2 q_1\mathrm h+q_1 x$ $=q_1( x−2\rm h)$ $=250 (x−11,80)$

Poutre BC :

$0 \leq x \leq \mathrm h \Rightarrow \mathrm V_{(x)}$ $\rm\displaystyle =−\sum F_{G\bot \text{ fibre neutre}}$ $\rm\displaystyle= −\sum F_{GV}$ $ =−\mathrm{Y_A} + q_2x$ $= −1211,08 + 500x$

Poteau CD :

$0 \leq x \leq \mathrm h \Rightarrow \mathrm V_{(x)}$ $\displaystyle\rm = +\sum F_{D \bot \text{ fibre neutre}}$ $\displaystyle \rm =+\sum F_{DH}$ $=q_1 (\mathrm h−x)$ $= 250(5,90−x)$

Résolution du portique isostatique – Questions 6 et 7

6. Équations et diagrammes des moments fléchissants

Poteau AB :

$0 \leq x \leq \mathrm h \Rightarrow \mathrm M_{(x)}$ $\displaystyle\rm =−\sum M_{FG} = X_A\mathcal x−\mathcal q_1\dfrac{\mathcal x^2}{2}$ $= \dfrac{x}{2} (2\mathrm{X_A}−q_1 x)$ $=\dfrac{x}{2} (5~900 − 250x)$

Poutre BC :

$0 \leq x \leq \mathrm h \Rightarrow \mathrm M_{(x)}$ $\displaystyle\rm =−\sum M_{FG}$ $= \mathrm{X_A h} − q_1 \dfrac{\rm h^2}{2} + \mathrm{Y_A}x −q_2 \dfrac{x^2}{2}$ $= 1~3053, 8 + 3~188, 92 x − 250 x^2$

Poteau CD :

$0 \leq x \leq \mathrm h \Rightarrow M_{(x)}$ $\displaystyle\rm =+\sum M_{FD}$ $= \dfrac{q_1}{2} (\mathrm h−x)^2$ $= 125(5,90− x)^2$

7. Définition

Les conditions de rigidité en $\rm B$ et en $\rm C$ sont vérifiées par la concordance des valeurs des moments fléchissants entre les poteaux et la poutre (mêmes valeurs).

Portique hyperstatique – Partie 1

Attention : Pour cette partie, il est conseillé d’étudier auparavant le chapitre 10 « Potentiel interne 1 » et le chapitre 11 « Potentiel interne 2 ».

Étude d’un portique bi-articulé


Poteaux : $\rm 0,25\times 0,25~m$
Poutre : $\rm 0,25\times 0,40~m$

Charge permanente liée à la toiture :

$p_1=\rm 200~daN/m$

Charge d’exploitation liée à la toiture :

$q_1 = \rm 150~daN/m$

Pondération selon les Eurocodes.

Les goussets permettent d’obtenir un encastrement relatif entre le poteau et la poutre. Il y a rigidité parfaite entre les deux éléments.

La liaison entre le poteau et la semelle de fondation est assimilée à une articulation.

Poids volumique du béton armé :

$\rm\gamma_{béton} = 25~kN/m^3$ $\Rightarrow  p_b = 0,25 \times 0,40 \times 1,00 \times 2~500$ $\rm =250~daN/m$

Portique hyperstatique – Partie 2

Schéma mécanique associé :

Les dimensions sont ramenées aux axes des poteaux et de la poutre.

Bilan réel du chargement sur la poutre :

$\rm G=450~daN/m$ ; $\rm Q=150~daN/m$

Coefficient de corrélation avec le schéma mécanique (de façon à ce que les actions verticales en $\rm A$ et $\rm D$ donnent la même somme que la charge répartie en $\rm BC$) :

$\rm \dfrac{8,25}{8,00} = 1,032$
$\rm \Rightarrow G=465~daN/m$ ; $\rm Q=155~daN/m$
$q_{\rm ELS} = 620~\rm daN/m$
$q_{\rm ELU} = \rm 861~daN/m$

Inconnues de liaison :

$\rm X_AY_A$ ; $\rm X_D Y_D \Rightarrow 4~inconnues$
$d=\rm I−E=4−3=1 \Rightarrow \text{ hyperstatique d'ordre 1}$

Les qualités de symétrie du portique nous permettent d’affirmer :

$\rm Y_A = Y_D$ $=\dfrac{ql}{2}$ ; $\rm X_A~(\rightarrow) = X_D~ (\leftarrow)$

Calcul des actions mécaniques horizontales par la méthode des forces.
On décompose en deux systèmes isostatiques.
On libère l’articulation $\rm D$ pour la transformer en un appui simple pouvant se déplacer horizontalement. Le déplacement associé se nommera $\Delta 10$.
On associe un $\rm 2^{ème}$ système avec une force unité en $\rm A$ et $\rm D$.
Le déplacement en $\rm D$ associé se nommera $\delta_{11}$
$\rm X_1$ sera l’inconnue liée au déplacement horizontal de l’appui simple $\rm D$.
L’ensemble ne doit pas avoir de déplacement (articulation), d’où :

$\Delta_{10} + X_1\delta_{11}=0$ $\rm\Rightarrow X_1 =−\Delta_{10} \delta_{11}$ $\rm = X_A = X_D$

$\displaystyle \rm\Delta_{10} = \dfrac{1}{EI_1}\int_0^h M \overline M \mathcal{dy}$ $+$ $\displaystyle \rm\dfrac{1}{EI_2} \int_0^L M \overline M \mathcal{dx}$ $+$ $\displaystyle \rm\dfrac{1}{EI_1} \int_0^h M \overline M \mathcal{dy}$ $\displaystyle \rm= \dfrac{1}{EI_2} \int_0^L M \overline M \cal dx$ car $\rm M=0$ pour les poteaux $\displaystyle \Delta_{10} = \dfrac{1}{\rm EI_2} \int_0^{\rm L} \left[\dfrac{−qx^2}{2} + \dfrac{q\mathrm Lx}{2}\right][−h]dx$ $\displaystyle =\dfrac{−h\rm q}{2 \rm EI_2} \int_0^{\rm L} \left[−x^2 + \mathrm Lx\right]dx$ $=\dfrac{−q\rm hL^3}{12 \rm EI_2}$
$\rm\displaystyle \delta_{11} = \dfrac{1}{EI_1} \int_0^h (−\mathcal y)^2 \mathcal{dy}$ $+$ $\rm\displaystyle \dfrac{1}{EI_2} \int_0^L (−h)(−h)\mathcal{dx}$ $+$ $\rm\displaystyle \dfrac{1}{EI_1} \int_0^h \left[−(h−\mathcal y)^2\right]\cal dy$ $\rm =\dfrac{h^2}{3 E} \left[2\dfrac{h}{I_1} + \dfrac{3L}{I_2}\right]$
$\rm \Rightarrow X_1 = \dfrac{−\Delta_{10}}{\delta_{11}} = \dfrac{\mathcal qL^3 I_1}{4h[2hI_2 + 3LI_1]}$

En supposant les matériaux homogènes, on peut calculer les moments quadratiques $\rm I_1$ et $\rm I_2$ : Les diagrammes de $\rm N$, $\rm V$, $\rm M$ et déplacements, sont ci-après. On remarquera que les actions horizontales $\rm X_A$ et $\rm X_D$ dépendent des grandeurs géométriques du portique et notamment pour beaucoup aux moments quadratiques.

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