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Poteaux

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Poteaux bi-articulés

Les déformations dans les poteaux sont liées à deux phénomènes :

  • Déformation par compression simple, liée à des forces bien placées dans l’axe du poteau, dont la section est supposée parfaitement symétrique.
  • Déformation liée à phénomène du second ordre, appelé flambage ou flambement, qui tient compte du fait que le poteau est très élancé et a des formes imparfaites.

On commencera par les poteaux bi-articulés, donc sans déplacement latéral en tête et en pieds (figure ci-dessous). On suppose que la liaison supérieure peut suivre le mouvement d’affaissement.

M(x)=Fy(x) EIy(x)+Fy(x)=0 y(x)+FEIy(x)=0
α2=FEIy(x)+α2y(x)=0

C’est une équation différentielle du ordre sans second membre dont la solution peut se mettre sous la forme d’une exponentielle complexe ou sous la forme d’une combinaison de sinus et cosinus (voir rappels de mathématiques).

Conditions aux limites :



soit sans interêt ou soit

Il y a une infinité de solutions, mais la nature préfère la solution la plus simple, soit :


Force critique d'Euler.

Rayon de giration ; élancement longueur de flambement Contrainte critique d'Euler liée au flambement.

Pour qu’un poteau résiste correctement à un effort vertical centré, il faudra vérifier deux contraintes :

(flambement) et contrainte admissible.

Exemple :

Poteau en acier , de section creuse réalisé avec une tôle de . La hauteur est de . Le poteau est bi-articulé. Charge axiale

Contrainte admissible :

Contrainte critique d’Euler :




Remarque : Le moment quadratique est calculé dans le sens le plus faible.

Poteaux bi-encastrés

Pour les poteaux bi-encastrés, encastrés en pied et articulés en tête, encastrés en pieds et libre en tête, on définit une longueur critique de flambement, comme indiqué dans le tableau ci-après :

Dans la pratique, il y a d’autres facteurs pénalisant la résistance des poteaux, mais cela fait partie des règlements $\rm EC2$ (béton), $\rm EC3$ (acier), $\rm EC4$ (acier + béton), $\rm EC5$ (bois), $\rm EC9$ (aluminium).

Poteau d’égale résistance en tenant compte du poids propre. La section $\mathrm S_{(y)}$ est variable, le poids volumique est $\rm p/m^3$, avec une charge $\rm F$ dans le sens négatif en tête de poteau. La surface de la section en tête de poteau est un disque et reste un disque quelle que soit la variable $y$.

$\mathrm S_{(y)} = \pi \mathrm R_{(y)}^2 \Rightarrow \mathrm V_{(y)} = \pi\rm R_{(y)}^2 dy$

Poids du poteau entre h et $y$ :

$\sigma = \dfrac{−\rm F}{\pi \rm R_{(h)}^2} \Rightarrow R_{(h)} = \sqrt{\dfrac{\rm −F}{\pi\sigma}}$

L’équilibre de l’élément de volume $\mathrm S_{(y)}dy$ s’écrit :

$\sigma \times (\mathrm S + d\mathrm S)− \sigma S − p\mathrm Sdy=0$ $\Rightarrow p\mathrm Sdy = \sigma d\mathrm S$ $\Rightarrow \dfrac{d\rm S}{\rm S} = \dfrac{pdy}{\sigma}$ $\Rightarrow \ln\rm S=\dfrac{p}{\sigma} y + \rm C$ $\Rightarrow \mathrm S = \mathrm{Ke}^{\frac{p}{\sigma}y}$
$\rm \sigma = \dfrac{−F}{S_0} \Rightarrow S = Ke^{\frac{\frac{\mathcal p}{ −F}\mathcal y}{S_0}}$
$\rm S_0 = Ke^{\frac{\frac{\mathcal p}{ −F}h}{S_0}} \Rightarrow K= \dfrac{S_0}{\left(\frac{\frac{\mathcal p}{ −F}h}{e^{S_0}}\right)}$ $\rm = S_0 \times \left(\dfrac{\frac{\mathcal p}{ −F}h}{e^{S_0}}\right) = S_0 \times e^{\left(\frac{S_0\mathcal ph}{F}\right)}$ $\rm\Rightarrow S = S_0 \times e^{\left(\frac{S_0\mathcal ph}{F}\right)} \times e^{\frac{\frac{\mathcal p}{ −F}\mathcal y}{S_0}} = S_0\times e^{\left(\frac{S_0\mathcal p(h−\mathcal y)}{F}\right)}$
$\rm S_0 = \pi R_0^2 \Rightarrow S = \pi R_0^2 \times e^{\left(\frac{\pi R_0^2 \mathcal p (h−\mathcal y)}{F}\right)}$

Exemple de construction s’inspirant de cette loi de variation :

La tour Eiffel réalisée par l’entreprise Eiffel, du nom de son créateur Gustave Eiffel.
Conception
: Maurice Koechlin, Émile Nouguier
Architecte : Stephen Sauvestre

  • Construite entre le 28/01/1887 et le 31/03/1889.
  • $18~038$ pièces métalliques et $2~500~000$ rivets
  • Poids : $7~800$ tonnes dans sa version d’origine.
  • Hauteur à l’origine : $\rm 312,27~m$
  • Hauteur actuelle : $\rm 324~m$
  • Déplacement du sommet.
  • Sous l’action de la chaleur : $\rm 18~cm ~(\uparrow)$
  • Sous l’action du vent : $\rm 7~cm~ (\rightarrow)$
  • Écartement des piliers à la base : $\rm 124,90~m$
  • Distance entre piliers : $\rm 72,25~m$

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