1) Une matrice
$3 \times 3$ est un tableau de nombres de $3$ lignes et $3$ colonnes.
$\left(
\begin{array}{ccc}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\
\end{array}
\right)$
Les nombres s'appellent des coefficients. On les indexe par le numéro de ligne et le numéro de colonne. $a_{i,j}$ signifie que c'est le coefficient situé sur la ligne $i$ et la colonne $j$.
2) Opération sur les matrices
Il y a 3 opérations possibles : l'addition, la multiplication par une constante et la multiplication de deux matrices.
- L'addition est définie ainsi :
$\left(
\begin{array}{ccc}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{ccc}
b_{1,1} & b_{1,2} & b_{1,3}\\
b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3}\\
b_{3,1} & b_{3,2} & b_{3,3}\\
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{ccc}
a_{1,1}+b_{1,1} & a_{1,2}+b_{1,2} & a_{1,3}+b_{1,3}\\
a_{2,1}+b_{2,1} & a_{2,2}+b_{2,2} & a_{2,3}+b_{2,3}\\
a_{3,1}+b_{3,1} & a_{3,2}+b_{3,2} & a_{3,3}+b_{3,3}\\
\end{array}
\right)$
- La multiplication par une constante est définie ainsi :
$\lambda
\left(
\begin{array}{ccc}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
\lambda a_{1,1} & \lambda a_{1,2} & \lambda a_{1,3}\\
\lambda a_{2,1} & \lambda a_{2,2} & \lambda a_{2,3}\\
\lambda a_{3,1} & \lambda a_{3,2} & \lambda a_{3,3}\\
\end{array}
\right)$.
La multiplication de deux matrices est définie ainsi :
$\left(
\begin{array}{ccc}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{ccc}
b_{1,1} & b_{1,2} & b_{1,3}\\
b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3}\\
b_{3,1} & b_{3,2} & b_{3,3}\\
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{ccc}
c_{1,1} & c_{1,2} & c_{1,3}\\
c_{2,1} & c_{2,2} & c_{2,3}\\
c_{3,1} & c_{3,2} & c_{3,3}\\
\end{array}
\right)$
Avec :
- $c_{1,1} = a_{1,1}b_{1,1} + a_{1,2}b_{2,1} + a_{1,3}b_{3,1}$
- $c_{2,1} = a_{2,1}b_{1,1} + a_{2,2}b_{2,1} + a_{2,3}b_{3,1}$
- $c_{3,1} = a_{3,1}b_{1,1} + a_{3,2}b_{2,1} + a_{3,3}b_{3,1}$
- $c_{1,2} = a_{1,1}b_{1,2} + a_{1,2}b_{2,2} + a_{1,3}b_{3,2}$
- $c_{2,2} = a_{2,1}b_{1,2} + a_{2,2}b_{2,2} + a_{2,3}b_{3,2}$
- $c_{3,2} = a_{3,1}b_{1,2} + a_{3,2}b_{2,2} + a_{3,3}b_{3,2}$
- $c_{1,3} = a_{1,1}b_{1,3} + a_{1,2}b_{2,3} + a_{1,3}b_{3,3}$
- $c_{2,3} = a_{2,1}b_{1,3} + a_{2,2}b_{2,3} + a_{2,3}b_{3,3}$
- $c_{3,3} = a_{3,1}b_{1,3} + a_{3,2}b_{2,3} + a_{3,3}b_{3,3}$
Pour se rappeler de ces formules, on peut utiliser la technique suivante. Si on veut calculer par exemple le coefficient $c_{2,3}$, on utiliser les coefficients de la matrice $A$ qui sont sur la 2ème ligne et ceux de la matrice $B$ qui sont sur le 3ème colonne. Voir le schéma suivant :
3) Exemples
Soit :
$A=\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -1 & 2\\
1 & 1 & 0\\
6 & -2 & 2\\
\end{array}
\right)$
et
$B=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 2\\
-1 & 6 & 1\\
0 & 0 & 0\\
\end{array}
\right)$.
Alors la matrice $D=A+4B$ est égal à :
$D=
\left(
\begin{array}{ccc}
4 & -1 & 10\\
-3 & 25 & 4\\
6 & -2 & 2\\
\end{array}
\right)$.
Et $C =A \times B$ est égale à :
$C=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & -6 & -1\\
0 & 6 & 3\\
8 & -12 & 10\\
\end{array}
\right)$.
Attention, en général, $A \times B$ n'est pas égal à $B \times A$.
4) Matrices particulières
Une matrice du type $\left(
\begin{array}{ccc}
a & 0 & 0\\
0 & b & 0\\
0 & 0 & c\\
\end{array}
\right)$ est dite diagonale car tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls.
La matrice diagonale $\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{array}
\right)$ s'appelle la matrice unité ou identité. Elle se note $I$.
On a pour toute matrice $A$ : $A \times I = A$ et $I \times A = A$.
La matrice $\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
\end{array}
\right)$ est la matrice nulle et se note $(0)$. On a pour toute matrice $A$ : $A + (0) = A$.
5) Matrice inversible
On dit qu'une matrice $A$ est inversible s'il existe une autre matrice $B$ tel que $A \times B = I$.
6) Déterminant
Soit la matrice :
$A = \left(
\begin{array}{ccc}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\
\end{array}
\right)$.
On lui associe un nombre appelé le déterminant de $A$ qui se note soit ${\rm det}(A)$ soit :
$\left|
\begin{array}{ccc}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\
\end{array}
\right|$.
On verra comment calculer ce déterminant. Mais disons tout de suite à quoi il sert :
Théorème : une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
7) Calcul pratique d'un déterminant
Théorème si une matrice est triangulaire supérieure c'est-à-dire de la forme :
$A =\left(
\begin{array}{ccc}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\
0 & a_{2,2} & a_{2,3}\\
0 & 0 & a_{3,3}\\
\end{array}
\right)$
Alors le déterminant est égal à $a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}$.
Autrement dit le déterminant d'une matrice triangulaire supérieure est égal au produit des éléments sur la diagonale. Cela marche aussi pour une matrice triangulaire inférieure :
$\left|
\begin{array}{ccc}
a_{1,1} & 0 & 0\\
a_{2,1} & a_{2,2} & 0\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\
\end{array}
\right| = a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}$.
Pour calculer un déterminant, on utilise deux techniques
a) Le développement par rapport à une ligne colonne.
Tout d'abord, le déterminant d'une matrice $2 \times 2$ est défini par :
$\left|
\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d\\
\end{array}
\right| = ad-bc$.
Passons au déterminant de la matrice :
$A =\left(
\begin{array}{ccc}
\begin{array}{ccc}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\
\end{array}
\end{array}
\right)$
Par exemple :
On va calculer le déterminant par développement par rapport à la première colonne. On a la formule :
$\det(A) = (-1)^{1+1} a_{1,1} \left|
\begin{array}{cc}
a_{2,2} & a_{2,3}\\
a_{3,2} & a_{3,3}\\
\end{array}
\right| +
(-1)^{2+1} a_{2,1} \left|
\begin{array}{cc}
a_{1,2} & a_{1,3}\\
a_{3,2} & a_{3,3}\\
\end{array}
\right|
+
(-1)^{3+1} a_{3,1} \left|
\begin{array}{cc}
a_{1,2} & a_{1,3}\\
a_{2,2} & a_{2,3}\\
\end{array}
\right|$.
On se rappelle de la formule ainsi :
- On voit apparaitre les coefficients $a_{1,1}$, $a_{2,1}$ et $a_{3,1}$ de la première colonne
- Chaque coefficient est assigné d'un signe $(-1)^{i+j}$ en fonction du numéro de ligne et du numéro de colonne du coefficient $a_{i,j}$
- Les déterminants $2 \times 2$ après le coefficient $a_{i,j}$ s'obtiennent en supprimant dans la matrice $A$ la ligne numéro $i$ et la colonne $j$.
Ce qui a été fait par rapport à la première colonne peut être fait par rapport à n'importe quelle colonne ou n'importe quel ligne.
Par exemple :
Calculons le déterminant de $A=\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -1 & 2\\
1 & 1 & 0\\
6 & -2 & 2\\
\end{array}
\right)$ par rapport à la première colonne :
$\det(A) = (-1)^{1+1} \times 0
\left|
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
-2 & 2\\
\end{array}
\right|
+(-1)^{2+1} \times 1 \times
\left|
\begin{array}{cc}
-1 & 2\\
-2 & 2\\
\end{array}
\right|
+(-1)^{3+1} \times 6 \times
\left|
\begin{array}{cc}
-1 & 2\\
1 & 0\\
\end{array}
\right|
$
Ensuite, on calcule les déterminants $2 \times 2$ (ce n'est pas le peine de calculer le premier déterminant car il sera multiplié par zéro).
$\left|
\begin{array}{cc}
-1 & 2\\
-2 & 2\\
\end{array}
\right| = -2+4=2$
et
$\left|
\begin{array}{cc}
-1 & 2\\
1 & 0\\
\end{array}
\right| = 0-2=-2$.
On a donc $\det(A) = -(2) + 6 \times (-2) = -14$.
Si on avait développé par rapport à la dernière ligne :
$\det(A) = (-1)^{3+1} \times 6
\left|
\begin{array}{cc}
-1 & 2\\
1 & 0\\
\end{array}
\right|
+(-1)^{3+2} \times (-2) \times
\left|
\begin{array}{cc}
0& 2\\
1 & 0\\
\end{array}
\right|
+(-1)^{3+3} \times 2 \times
\left|
\begin{array}{cc}
0 & -1\\
1 & 1\\
\end{array}
\right|
$
Ce qui donne $\det(A) = 6 \times (-2) + (-1)(-2)(-2) + 2 \times 1 =-14$.
Remarque :
Comme le déterminant est non nul, la matrice $A$ est inversible d'après un théorème.
b) Opérations sur les lignes ou les colonnes.
On peut montrer que les opérations du type $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ avec $i \neq j$ ou $C_i \leftarrow C_i + \lambda C_j$ avec $i \neq j$ ne modifient pas le déterminant. L'idée est alors de mettre beaucoup de zéros comme dans la méthode du pivot de Gauss pour éventuellement rendre la matrice triangulaire.
Exemple.
Dans la matrice $A = \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -1 & 2\\
1 & 1 & 0\\
6 & -2 & 2\\
\end{array}
\right)$ on peut par exemple ajouter un zéro sans détruire les deux zéros déjà présents en effectuant l'opération $C_2 \leftarrow C_2 - C_1$ :
$\det(A) = \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -1 & 2\\
1 & 0 & 0\\
6 & -8 & 2\\
\end{array}
\right)$.
(La matrice a changé mais la théorie nous dit que le déterminant est identique).
On n'obtient pas une matrice triangulaire mais l'opération que nous avons effectuée est tout de même intéressante. En effet si on développe par rapport à la deuxième ligne, comme il y a deux zéros, il n'y aura qu'un seul terme dans le développement :
$\det(A) = (-1)^{2+1}(1)\left|
\begin{array}{cc}
-1 & 2\\
-8 & 2\\
\end{array}
\right| = -(-2+16) = -14$.
