Contraintes internes et déformations

$\boxed{\rm \sigma=E~\varepsilon}$ avec : $\rm E =$ module d’élasticité longitudinale ou module d’Young $(>0)$ et $\varepsilon$ la déformation relative de la fibre repérée.

La contrainte $\sigma$ est donc du même signe que la déformation relative.

Les conventions de signe sont issues des convention mathématiques.

Expression de la contrainte tangentielle en fonction de l’effort tranchant $\mathrm V(x)$ :

$\boxed{\tau=\dfrac{\mathrm V_{(x)} \mathrm M_s}{\mathrm I_{x’ x}b_{(y)}}}$

$\rm M_s =$ moment statique de la partie de section au-dessus de la position de $y$.
$\mathrm I_{x’x} =$ moment quadratique de la section de poutre par rapport à l’axe du $\rm CDG$.
$b_{(y)} =$ largeur de la section de poutre au niveau de la cote $y$.

Expression de la contrainte tangentielle liée au moment de torsion :

$\boxed{\tau =\dfrac{r_{\rm C}}{\rm I_0}}$

$r =$ rayon du cylindre circulaire.
$\rm C =$ couple (moment) selon l’axe de la poutre en général cylindrique.
$\rm I_0 =$ moment quadratique polaire de la poutre cylindrique valant $\boxed{\rm I_0= \dfrac{\pi D^4}{32}}$.

Expression de la contrainte normale liée à une flexion composée (flexion simple selon $z$ et effort normal selon $x$) :

$\boxed{\sigma = \mathrm{\dfrac{N}{S}} − \dfrac{\mathrm M_z}{\mathrm I_z} \times y}$

Expression de la contrainte normale liée à une flexion composée (flexion déviée selon $y$ et $z$, effort normal selon $x$) :

$\boxed{\sigma =\dfrac{\rm N}{\rm S} − \dfrac{\mathrm M_z}{\mathrm I_z} \times y + \dfrac{\mathrm M_y}{\mathrm I_y} \times z}$

Expression de la déformation planaire de poutres. Relation entre la courbure et le moment fléchissant. Si :

• $r =$ rayon de courbure de la fibre neutre de la poutre.
• $\rm E =$ module d’élasticité longitudinale ou module d’Young.
• $\rm I =$ moment quadratique de la section par rapport à l’axe $z’z$ passant par sa fibre neutre.
• $\mathrm M(x) =$ moment fléchissant en tout point de l’axe de la poutre.
• $y(x) =$ déformée ou déplacement du $\rm CDG$ de la section en tout point de la poutre.
• $y’(x) =$ pente de la déformée $y(x)$.
• $y’’(x) =$ concavité de la déformée $y(x)$ ($>0$ si la courbure est en cuvette, $<0$ si la courbure est en chapeau).

Alors on a : $\boxed{\dfrac{\mathrm M_{(x)}}{\mathrm{EI}_{z ’ z}} = \dfrac{1}{r} = \dfrac{y_x^{’’}}{[1+ y_x^{’2}]^{\frac{3}{2}}} \approx y_x^{’’}}$ puis on procède par $2$ intégrations successives pour obtenir la flèche $y$.

Sauf dans le cas où l’on étudie une poutre travaillant en Cexion pure (appelée encore Cexion circulaire), la formule approchée suGt amplement, car la pente est très faible.