Portiques isostatiques et hyperstatiques d’ordre 1

Le portique ci-dessous est en béton. Pour les besoins de la modélisation, la structure sera considérée comme filaire (pas d’épaisseur).

Les caractéristiques géométriques $\rm (E, I)$ ne seront utiles que pour l’évaluation des déformées de la structure.

On ne tiendra pas compte du poids propre de la structure.

Questions :

1. Calculer l’hyperstatisme du système.
2. Calculer littéralement les actions mécaniques aux appuis $\rm (X_A, Y_A, X_D, Y_D)$.
3. En déduire les valeurs numériques.
4. Pour la structure $\rm AB-BC-CD$, écrire les équations des efforts normaux. Tracer le diagramme de $\mathrm N_{(x)}$.
5. Pour la structure $\rm AB-BC-CD$, écrire les équations des efforts tranchants. Tracer le diagramme de $\mathrm V_{(x)}$.
6. Pour la structure $\rm AB-BC-CD$, écrire les équations des efforts moments fléchissants. Tracez le diagramme de $\mathrm M_{(x)}$.
7. Définir les conditions de rigidité en $\rm B$ et $\rm C$. Comparer les valeurs des moments fléchissants en $\rm B$ et $\rm C$ pour les poteaux et la partie poutre.

1. Hyperstatisme du système

Articulation à gauche $\rightarrow 2$ inconnues de liaison.

Appui simple à droite $\rightarrow 1$ inconnue de liaison.

$d=\rm I−E=3−3=0$

Le système est isostatique.

2. et 3. Calcul des actions mécaniques aux liaisons

$\rm X_A=2 \mathcal q_1 h=2\times 250 \times 5,90 = 2~950~daN$ dans le sens de $-x$.

$\displaystyle \rm \sum F_{verticales}=0$ $\rm \Rightarrow Y_A + Y_B − \mathcal q_2\mathcal l$ $= 0$

$\displaystyle \rm\sum M_{/A} = 0$ $\rm \Rightarrow Y_D\mathcal l − 2\mathcal q_1 h \times \dfrac{h}{2} − \mathcal q^2 \mathcal l \times \dfrac{\mathcal l}{2} = 0$
$\Rightarrow \mathrm{Y_D} = \dfrac{1}{l} \times \left(q_1\mathrm h^2 + q_2 \dfrac{l^2}{2}\right)$ $= \dfrac{1}{8,80} \times \left(250 \times 5,90^2 + \dfrac{500 \times 8,80^2}{2}\right)$ $\rm = 3~188,92~daN$

$\rm Y_A = \mathcal q^2 \mathcal l − Y_D$ $= 500 \times 8,80 − 3~188,92$ $\rm = 1~211,08~daN$

Simulation avec le logiciel PyBar.

Schématisation des données :

4. Équations et diagrammes des efforts normaux

Poteau AB :

$0 \leq x \leq \mathrm h$
$\displaystyle \mathrm N_{(x)} = −\sum \rm F_{\text{G // fibre neutre }}$
$\displaystyle \mathrm N_{(x)} = −\sum \rm F_{GV}=−Y_A$
$\mathrm N_{(x)} = \rm −12~110,08~daN$

Poutre BC :

$0 \leq x \leq l$
$\displaystyle \mathrm N_{(x)} = −\sum \rm F_{\text{G // fibre neutre}}$
$\mathrm N_{(x)} = \rm −\sum F_{GH}$
$\mathrm N_{(x)} = −q_1 \rm h + X_A$
$\mathrm N_{(x)} = −250\times 5,90 + 2~950$
$\mathrm N_{(x)} = \rm 1~475~daN$

Poteau CD :

$0 \leq x \leq \rm h$
$\mathrm N_{(x)} = \displaystyle \rm + \sum F_{\text{D // fibre neutre}} = +\sum F_{DV}$
$\mathrm N_{(x)} = −\mathrm{Y_D} = \dfrac{1}{l}\left(q_1 \mathrm h^2+q_2 \dfrac{l^2}{2}\right)$ $\rm =−3~188,92~daN$

5. Équations et diagrammes des efforts tranchants

Poteau AB :

$0 \leq x \leq \mathrm h \Rightarrow V_{(x)}$ $\rm\displaystyle = −\sum F_{G \bot \text{ fibre neutre}}$ $\rm\displaystyle = −\sum F_{GH}$ $\rm = −X_A + \mathcal q_1\mathcal x$ $=−2 q_1\mathrm h+q_1 x$ $=q_1( x−2\rm h)$ $=250 (x−11,80)$

Poutre BC :

$0 \leq x \leq \mathrm h \Rightarrow \mathrm V_{(x)}$ $\rm\displaystyle =−\sum F_{G\bot \text{ fibre neutre}}$ $\rm\displaystyle= −\sum F_{GV}$ $ =−\mathrm{Y_A} + q_2x$ $= −1211,08 + 500x$

Poteau CD :

$0 \leq x \leq \mathrm h \Rightarrow \mathrm V_{(x)}$ $\displaystyle\rm = +\sum F_{D \bot \text{ fibre neutre}}$ $\displaystyle \rm =+\sum F_{DH}$ $=q_1 (\mathrm h−x)$ $= 250(5,90−x)$

6. Équations et diagrammes des moments fléchissants

Poteau AB :

$0 \leq x \leq \mathrm h \Rightarrow \mathrm M_{(x)}$ $\displaystyle\rm =−\sum M_{FG} = X_A\mathcal x−\mathcal q_1\dfrac{\mathcal x^2}{2}$ $= \dfrac{x}{2} (2\mathrm{X_A}−q_1 x)$ $=\dfrac{x}{2} (5~900 − 250x)$

Poutre BC :

$0 \leq x \leq \mathrm h \Rightarrow \mathrm M_{(x)}$ $\displaystyle\rm =−\sum M_{FG}$ $= \mathrm{X_A h} − q_1 \dfrac{\rm h^2}{2} + \mathrm{Y_A}x −q_2 \dfrac{x^2}{2}$ $= 1~3053, 8 + 3~188, 92 x − 250 x^2$

Poteau CD :

$0 \leq x \leq \mathrm h \Rightarrow M_{(x)}$ $\displaystyle\rm =+\sum M_{FD}$ $= \dfrac{q_1}{2} (\mathrm h−x)^2$ $= 125(5,90− x)^2$

7. Définition

Les conditions de rigidité en $\rm B$ et en $\rm C$ sont vérifiées par la concordance des valeurs des moments fléchissants entre les poteaux et la poutre (mêmes valeurs).

Attention : Pour cette partie, il est conseillé d’étudier auparavant le chapitre 10 « Potentiel interne 1 » et le chapitre 11 « Potentiel interne 2 ».

Étude d’un portique bi-articulé

Poteaux : $\rm 0,25\times 0,25~m$
Poutre : $\rm 0,25\times 0,40~m$

Charge permanente liée à la toiture :

$p_1=\rm 200~daN/m$

Charge d’exploitation liée à la toiture :

$q_1 = \rm 150~daN/m$

Pondération selon les Eurocodes.

Les goussets permettent d’obtenir un encastrement relatif entre le poteau et la poutre. Il y a rigidité parfaite entre les deux éléments.

La liaison entre le poteau et la semelle de fondation est assimilée à une articulation.

Poids volumique du béton armé :

$\rm\gamma_{béton} = 25~kN/m^3$ $\Rightarrow  p_b = 0,25 \times 0,40 \times 1,00 \times 2~500$ $\rm =250~daN/m$

Schéma mécanique associé :

Les dimensions sont ramenées aux axes des poteaux et de la poutre.

Bilan réel du chargement sur la poutre :

$\rm G=450~daN/m$ ; $\rm Q=150~daN/m$

Coefficient de corrélation avec le schéma mécanique (de façon à ce que les actions verticales en $\rm A$ et $\rm D$ donnent la même somme que la charge répartie en $\rm BC$) :

$\rm \dfrac{8,25}{8,00} = 1,032$
$\rm \Rightarrow G=465~daN/m$ ; $\rm Q=155~daN/m$
$q_{\rm ELS} = 620~\rm daN/m$
$q_{\rm ELU} = \rm 861~daN/m$

Inconnues de liaison :

$\rm X_AY_A$ ; $\rm X_D Y_D \Rightarrow 4~inconnues$
$d=\rm I−E=4−3=1 \Rightarrow \text{ hyperstatique d'ordre 1}$

Les qualités de symétrie du portique nous permettent d’affirmer :

$\rm Y_A = Y_D$ $=\dfrac{ql}{2}$ ; $\rm X_A~(\rightarrow) = X_D~ (\leftarrow)$

Calcul des actions mécaniques horizontales par la méthode des forces.
On décompose en deux systèmes isostatiques.
On libère l’articulation $\rm D$ pour la transformer en un appui simple pouvant se déplacer horizontalement. Le déplacement associé se nommera $\Delta 10$.
On associe un $\rm 2^{ème}$ système avec une force unité en $\rm A$ et $\rm D$.
Le déplacement en $\rm D$ associé se nommera $\delta_{11}$
$\rm X_1$ sera l’inconnue liée au déplacement horizontal de l’appui simple $\rm D$.
L’ensemble ne doit pas avoir de déplacement (articulation), d’où :

$\Delta_{10} + X_1\delta_{11}=0$ $\rm\Rightarrow X_1 =−\Delta_{10} \delta_{11}$ $\rm = X_A = X_D$

$\displaystyle \rm\Delta_{10} = \dfrac{1}{EI_1}\int_0^h M \overline M \mathcal{dy}$ $+$ $\displaystyle \rm\dfrac{1}{EI_2} \int_0^L M \overline M \mathcal{dx}$ $+$ $\displaystyle \rm\dfrac{1}{EI_1} \int_0^h M \overline M \mathcal{dy}$ $\displaystyle \rm= \dfrac{1}{EI_2} \int_0^L M \overline M \cal dx$ car $\rm M=0$ pour les poteaux $\displaystyle \Delta_{10} = \dfrac{1}{\rm EI_2} \int_0^{\rm L} \left[\dfrac{−qx^2}{2} + \dfrac{q\mathrm Lx}{2}\right][−h]dx$ $\displaystyle =\dfrac{−h\rm q}{2 \rm EI_2} \int_0^{\rm L} \left[−x^2 + \mathrm Lx\right]dx$ $=\dfrac{−q\rm hL^3}{12 \rm EI_2}$
$\rm\displaystyle \delta_{11} = \dfrac{1}{EI_1} \int_0^h (−\mathcal y)^2 \mathcal{dy}$ $+$ $\rm\displaystyle \dfrac{1}{EI_2} \int_0^L (−h)(−h)\mathcal{dx}$ $+$ $\rm\displaystyle \dfrac{1}{EI_1} \int_0^h \left[−(h−\mathcal y)^2\right]\cal dy$ $\rm =\dfrac{h^2}{3 E} \left[2\dfrac{h}{I_1} + \dfrac{3L}{I_2}\right]$
$\rm \Rightarrow X_1 = \dfrac{−\Delta_{10}}{\delta_{11}} = \dfrac{\mathcal qL^3 I_1}{4h[2hI_2 + 3LI_1]}$

En supposant les matériaux homogènes, on peut calculer les moments quadratiques $\rm I_1$ et $\rm I_2$ : Les diagrammes de $\rm N$, $\rm V$, $\rm M$ et déplacements, sont ci-après. On remarquera que les actions horizontales $\rm X_A$ et $\rm X_D$ dépendent des grandeurs géométriques du portique et notamment pour beaucoup aux moments quadratiques.