Probabilités continues

Loi exponentielle

La fonction de densité $f$ d'une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ est définie par $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$.

Pour tout $t > 0$, la probabilité de l'événement $(X \leq t)$ est donnée par $P(X \leq t) = \int_0^{t} \lambda e^{-\lambda x} dx$.

L'espérance de cette variable aléatoire $X$ est $E(X) = \frac{1}{\lambda}$, sa variance $V(X) = \frac{1}{{\lambda}^2}$ et son écart-type $\sigma =\frac{1}{\lambda}$.

Loi normale

La variable $X$ suit la loi normale $N(\mu ; {\sigma}^2)$ si la variable aléatoire $\frac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi centrée réduite $N(0 ; 1)$.

Propriétés :

Pour une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale $N(\mu ; {\sigma}^2)$ : 

• $P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0,68$ au centième près. 
• $P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0,95$ au centième près. 
• $P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0,997$ au millième près.