Pour tout ce qui suit, on munit l'espace d’un repère orthonormé ($\mathrm{O}$ ; $\vec{i}$ ; $\vec{j}$ ; $\vec{k}$).
Expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé
Pour $\vec{u}(x ; y ; z)$ et $\vec{v}(x’ ; y’ ; z’)$, deux vecteurs de l'espace : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx’ + yy’ + zz’$ qui est un nombre réel.
Propriétés du produit scalaire
Pour $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs de l'espace et un nombre réel $k$ :
$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ ; $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot (k \vec{v}) = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$.
Norme d’un vecteur
Pour $\vec{u}(x ; y ; z)$ un vecteur de l'espace :
$\| \overrightarrow u \| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
Distance entre deux points
Pour $\mathrm{A}({x}_{\mathrm{A}} ; {y}_{\mathrm{A}} ; {z}_{\mathrm{A}})$ et $\mathrm{B}({x}_{\mathrm{B}} ; {y}_{\mathrm{B}} ; {z}_{\mathrm{B}})$, deux points de l'espace :
$\mathrm{AB} = \sqrt{\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}}$
$\mathrm{AB} = \sqrt{{({x}_{\mathrm{B}} - {x}_{\mathrm{A}})}^2 + {({y}_{\mathrm{B}} - {y}_{\mathrm{A}})}^2 + {({z}_{\mathrm{B}} - {z}_{\mathrm{A}})}^2}$
Vecteurs orthogonaux
Deux vecteurs de l'espace sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
