Pour tout ce qui suit, on munit l'espace d’un repère orthonormé (O ; →i ; →j ; →k).

Définition

Soit →u(x;y;z) et →v(x′;y′;z′) deux vecteurs de l’espace.

Le produit vectoriel de →u et de →v, noté →u∧→v est le vecteur défini par :

  • Si →u et →v sont colinéaires : →u∧→v=→0 ;
  • Si →u et →v ne sont pas colinéaires :   
    • →u∧→v est orthogonal aux vecteurs →u et →v ; (direction)
    • (→u ; →v ; →u∧→v) est une base directe ; (sens)
    • ‖→u∧→v‖ = ‖→u‖ ‖→v‖ sin(→u ; →v). (longueur)

Remarque :

Si le repère orthonormal (O ; →i ; →j ; →k) est direct, les coordonnées du vecteur →u∧→v  sont :

→u∧→v(yz′−zy′;x′z−xz′;xy′−yx′).

Propriétés 

Pour →u, →v et →w trois vecteurs de l’espace et α un nombre réel :

  • →v∧→u=−→u∧→v ;
  • (α→u)∧→v=α(→u∧→v)=→u∧(α→v) ;
  • →u∧(→v+→w)=→u∧→v+→u∧→w et (→u+→v)∧→w=→u∧→w+→v∧→w.