Systèmes isostatiques

$d=\rm I−E$ avec I étant le nombre d’inconnues et E le nombre d’équations.

• Si $d=\rm I−E>0 \Rightarrow$ système hyperstatique.

• Si $d=\rm I−E=0 \Rightarrow$ système isostatique.

• Si $d=\rm I−E<0 \Rightarrow$ système hypostatique (mobile).

Seuls les systèmes isostatiques peuvent être étudiés grâce au $\rm PFS$.

Poutre articulée à gauche et sur appui simple à droite

Les inconnues sont les actions aux liaisons soit $\rm X_A$, $\rm Y_A$ et $\rm Y_B$.

$d=\rm I−E=3−3=0 \Rightarrow isostatique$
$\displaystyle\rm  \sum \overrightarrow{F_{/\cal x}} \Rightarrow X_A = 0$
$d=\rm I−E=3−3=0 \Rightarrow isostatique$
$\displaystyle\rm  \sum \overrightarrow{F_{/\cal y}} \Rightarrow Y_A + Y_B -\mathcal{ql} = 0$
$\displaystyle\rm  \sum \overrightarrow{M_{F_{/A}}} = 0 \Rightarrow Y_B \mathcal l -\dfrac{\mathcal{ql}^2}{2} = 0$
$\Rightarrow \rm Y_B \mathcal l -\dfrac{\mathcal{ql}}{2} = 250~kN$ $\Rightarrow \rm Y_A \mathcal l -\dfrac{\mathcal{ql}}{2} = 250~kN$

En utilisant les relations de symétrie
$\rm Y_A=Y_B$ $\rm \Rightarrow Y_A=Y_B$ $\rm =\dfrac{\cal ql}{2} = 250~kN$

Poutre encastrée à gauche et libre à droite

$d=\rm I−E=3−3=0 \Rightarrow isostatique$
$\displaystyle \rm \sum\overrightarrow{F_{/\mathcal x}} = 0 \Rightarrow X_A=0$
$\displaystyle \rm \sum\overrightarrow{F_{/\mathcal y}} = 0$ $\rm \Rightarrow Y_A=0 − \mathcal{ql} = 0$ $\rm \Rightarrow Y_A = \mathcal{ql} = 150~kN$
$\displaystyle \rm \sum\overrightarrow{M_{F_{/A}}} = 0$ $\rm \Rightarrow M_A = 0 − \dfrac{\mathcal{ql}^2}{2} = 0$ $\rm \Rightarrow M_A = \dfrac{\mathcal{ql}^2}{2} = 225~m.kN$

Poutre articulée à gauche et sur appui simple à droite, avec console

$d=\rm I−E=3−3=0 \Rightarrow isostatique$
$\displaystyle \rm \sum\overrightarrow{F_{/\mathcal x}} = 0 \Rightarrow X_A=0$
$\displaystyle \rm \sum\overrightarrow{F_{/\mathcal y}} = 0 \Rightarrow Y_A +Y_B− \mathcal q \times (l + a)^2 = 0$
$\displaystyle \rm \sum\overrightarrow{M_{F_{/A}}} = 0 \Rightarrow Y_B \mathcal l − \dfrac{\mathcal q\times (\mathcal{l+a})^2}{2} = 0$
$\Rightarrow \rm Y_B = \mathcal q \dfrac{(\mathcal{l+a})^2}{2 \mathcal l} = 360~kN$
$\mathrm{Y_A} = q (l + a) − q\dfrac{(l + a)^2}{2 l}$ $= \dfrac{q (l+a)}{2l} (2l − l − a)$ $= \dfrac{q (l^2 − a^2)}{2 l}$ $= 240~\rm kN$

Vérification : $\mathrm{Y_A + Y_B}− q(l + a)$ $= 240 + 360 − 600 = 0$

Étude d’une potence encastrée en pied de poteau

Hypothèses : Les dimensions transversales des poteau et poutre sont négligées dans les calculs.

$q/m = 5~\rm kN/m$ (charge répartie sur la partie poutre)
$\rm H = 20~kN$ $\qquad$ $\rm F = 50~kN$
$d=\rm I−E=3−3=0 \Rightarrow isostatique$
$\displaystyle\rm\sum\overrightarrow{F_{/ \mathcal x}} = 0 \Rightarrow − X_A + H = 0$ $\rm \Rightarrow X_A = H = 20~kN$
$\displaystyle\rm\sum\overrightarrow{F_{/ \mathcal y}} = 0 \Rightarrow Y_A − \mathcal{ql} − F = 0$ $\rm \Rightarrow Y_A = \mathcal{ql} + F = 60~kN$
$\displaystyle\rm\sum\overrightarrow{M_{F_{/A}}} = 0 \Rightarrow M_A − \dfrac{\mathcal{ql}^2}{2} − F\mathcal l − H\mathcal h =0$
$\rm M_A = \dfrac{\mathcal{ql}^2}{2} + F \mathcal l + H\mathcal h = 210~m.kN$

NB : Si les résultats de calcul sont positifs, c’est que le sens choisi arbitrairement pour les actions mécaniques de liaison est correct. S’ils sont négatifs, il faut changer de sens.

Étude de l’équilibre statique d’un auvent scellé sur un mur porteur

Modélisation pour une tranche d’$\rm 1,00~m$.

On décompose le système en deux parties étudiées séparément.

Système poutre AC seule :

La direction de $\rm F_C$ étant imposée par la barre $\rm B_C$, les actions $\rm X_C$ et $\rm Y_C$ ne sont pas indépendantes. Les inconnues de liaison sont donc au nombre de quatre, mais avec une équation supplémentaire reliant $\rm X_C$ et $\rm Y_C$.

$d=\rm I−E=4−4=0 \Rightarrow isostatique$ $\displaystyle\rm\sum\overrightarrow{F_{/\mathcal y}} = 0 \Rightarrow Y_A + Y_C− \mathcal{ql} − F = 0$
$\displaystyle\rm\sum\overrightarrow{M\overrightarrow{F_{/ \mathcal x}}} = 0 \Rightarrow Y_C \mathcal l − F\mathcal l − \dfrac{\mathcal{ql}^2}{2} = 0$
$\rm Y_C = F + \dfrac{\mathcal{ql}}{2} = 100 + \dfrac{200\times 3,00}{2} = 400~daN$
$\rm Y_A = \mathcal{ql} + F − Y_C = \dfrac{\mathcal{ql}}{2} = 300~daN$
$\rm \dfrac{X_C}{Y_C} = \cal \dfrac{l}{h}$
$\Rightarrow \mathrm{X_C} = \dfrac{l}{h} \mathrm{Y_C} = \dfrac{l}{h} \times \left(\mathrm F + \dfrac{ql}{2}\right)$ $\rm = 1~200~\rm daN$
$\displaystyle\rm\sum\overrightarrow{F_{/\mathcal x}}=0 \Rightarrow X_C−X_A=0$ $\Rightarrow \mathrm{X_A} = \mathrm{X_C} = \dfrac{l}{h} \mathrm{Y_C}$ $= \dfrac{l}{h} \times \left(\mathrm F+\dfrac{ql}{2}\right)$ $= 1~200~\rm daN$

Système partie BC seule :

La barre $\rm BC$ imposant à $\rm F_B$ d’être dans l’alignement de celle-ci, on en déduit de façon évidente :

$\rm X_B=X_C= \dfrac{\cal l}{\cal h} \times\left(F + \dfrac{\cal ql}{2}\right) = 1~200~daN$
$\rm Y_B = Y_C = F + \dfrac{\cal ql}{2} = 400~daN$

NB : La liaison en $\rm A$ présente un risque d’arrachement car la poutre $\rm AC$ tire vers l’extérieur du mur. Le scellement devra donc être particulièrement soigné et bien dimensionné. Inversement, la barre $\rm BC$ appuie sur le mur et le scellement pourra être simplifié. Mais pour les deux scellements, il faudra vérifier la résistance au cisaillement vertical.

Définitions :

Pour un système planaire $x\rightarrow o~ y \uparrow$ :

• Effort normal : $\mathrm N(x)$ $= −\displaystyle\sum \mathrm F_{// \text{ fibre neutre et à gauche de la section}}$ $= + \displaystyle\sum \mathrm F_{// \text{ fibre neutre et à droite de la section}}$
• Effort tranchant : $\sphericalangle\mathrm V_{(x)}$ $= −\displaystyle\sum\mathrm F_{\bot \text{ à la fibre neutre et à gauche de la section}}$ $\displaystyle \rm = +\sum F_{\bot\text{ à la fibre neutre et à droite de la section}}$
• Moment fléchissant : $\mathrm M_{(x)}$ $\displaystyle \rm = −\sum M_{\text{Forces à Gauche}}$ $\rm = +\sum M_{\text{Forces à Droite}}$
  $\rm M$ étant les moments selon l’axe $z$.
• Relation entre $\mathrm V_{(x)}$ et $\mathrm M_{(x)}$ : $\mathrm V_{(x)} = − \mathrm M_{(x)}' = − \dfrac{d\mathrm M_{(x)}}{dx}$
  L’effort tranchant est égal à la dérivée du moment fléchissant par rapport à x, au signe près.
• Relation entre le moment fléchissant et la déformée : $\dfrac{\mathrm M_{(x)}}{\mathrm{EI}_{z ' z}} = \dfrac{1}{r}$ $= \dfrac{y_x^"}{\left[1+ y_x^{'2}\right]^{ \frac{3}{2}}}$ $\approx y_x^{''} =$ concavité de la déformée.

Si $\mathrm M_{(x)} >0 \rightarrow$ Concavité en cuvette (la surface entourée est au-dessus de la courbe).
Si $\mathrm M_{(x)} < 0 \rightarrow$ Concavité en chapeau (la surface entourée est au-dessous de la courbe).

Section rectangulaire creuse en acier

Description géométrique :

• L’encastrement est à gauche et la poutre est libre à droite.
• L’angle d’inclinaison est de $60$ degrés par rapport à la verticale.
• La densité de charge est descendante et orientée vers la droite.
• La densité de charge vaut $\rm 10~kN/m$.
• La poutre fait $5$ mètres de long.

Questions :

1. Degré d’hyperstaticité du système.
2. Actions mécaniques aux appuis.
3. Équation et diagramme des efforts normaux.
4. Équations et diagramme des efforts tranchants.
5. Équation et diagramme des moments fléchissants.
6. Allure de la déformée.
7. Diagramme de Navier en $x= 0,00~\rm m$ (au droit de l’encastrement).
8. Conclusion.

1. Degré d’hyperstaticité du système

$d=\rm I−E=3−3=0 \Rightarrow \text{système isostatique}$

2. Actions mécaniques aux appuis

$\mathrm{X_A} = q \times l \times \cos(30) = ql \dfrac{\sqrt 3}{2}$ $= 10\times 5,00 \times \dfrac{\sqrt 3}{2} = 43,3013~\rm kN$
Dans le sens $\leftarrow$ (négatif par rapport à $x$).

$\mathrm{Y_A} = q\times l \times \sin(30)$ $= \dfrac{ql}{2} = \dfrac{10\times 5,00}{2} = 25,00~\rm kN$
Dans le sens ascendant (positif par rapport à $y$).

$\mathrm{M_A} = q\times l\times \sin(30)\times \dfrac{l}{2} = \dfrac{ql^2}{4} = \dfrac{10\times 5,00^2}{4} = 62,50~\rm kN.m$
Dans le sens positif de $z$ et en négligeant le moment parasite créé par la charge répartie sur le dessus de la poutre et non sur l’axe du CDG.

Pour les questions suivantes, les diagrammes sont obtenus avec le logiciel PyBar.

3. Équation de l’effort normal (projection sur l’axe horizontal $x$ avec le cosinus)

$\rm N_{(\mathcal x)} = −\displaystyle\sum F_{HG} = X_A − \mathcal q\times \cos (30°)$ $= ql \dfrac{\sqrt 3}{2} −qx \dfrac{\sqrt 3}{2}$ $= −q \dfrac{\sqrt 3}{2} (x−l )$ $= 5\sqrt 3(x−5,00)$

4. Équation de l’effort tranchant (projection sur l’axe vertical avec le sinus)

$\rm V_{(\mathcal x)} = \displaystyle −\sum F_{VG} = −Y_A + \mathcal q\times \sin(30°)$ $=\dfrac{−ql}{2} + \dfrac{qx}{2} = \dfrac{q}{2} (x−l ) = 5 ( x−5,00)$

5. Équation du moment fléchissant (en négligeant le moment parasite créé par la charge répartie sur le dessus de la poutre et non sur l’axe du CDG)

$\mathrm M_{(x)} = − \displaystyle \sum \mathrm{M_{FG}}$ $= −\mathrm{M_A} + \mathrm{Y_A} x−\dfrac{qx^2}{2} \sin (30°)$ $=\dfrac{−ql^2}{4} + \dfrac{ql}{2}x − \dfrac{qx^2}{4}$ $=\dfrac{q}{4} (x−l)^2$ $= −2,5( x−5)^2$

Parabole à concavité négative.

6. Diagramme de Navier en $x = 0,00$

$\rm S = 0,20\times 0,40−0,190\times 0,390$ $\rm = 0,0059~m^2$
$\rm I = \dfrac{1}{12}\times (0,20 \times 0,43 − 0,19 \times 0,393)$ $= 0,000127~\rm m^4$
$\rm\sigma= \dfrac{N_{(\mathcal x)}}{S} − \dfrac{M_{(\mathcal x)}}{I}\mathcal y$ $= \dfrac{43,30013}{0,0059} + \dfrac{62,50}{0,000127} \times (\pm 0,20)$ $= 7~339,01\pm 9~8425,20$

En $y = +0,20~\rm m$
$\sigma = 7~339,01 + 9~8425,20$ $= 105~764,21~\rm kN/m^2$ $\rm = 105,764~Mpa$

En $y = -0,20\rm~ m$
$\rm\sigma =7~339,01 − 98~425,20$ $\rm = −91~086,19~kN/m^2$ $\rm = −91,086~Mpa$

7. L’équation du moment fléchissant est une parabole du second degré, donc l’équation de la déformée est du $\rm 4^{ème}$ degré.

8. La contrainte admissible étant de $\rm 215~Mpa$, la section de poutre est largement dimensionnée.