Automatisme

Utilisation du critère de Routh

On considère un système bouclé avec un retour unitaire.

$\mathrm H(p)$ est la fonction de transfert en boucle ouverte. $\mathrm H(p)$ possède un numérateur $\mathrm N(p)$ et un dénominateur $\mathrm D(p) : \mathrm H_0(p) = \displaystyle \frac{\mathrm N(p)}{\mathrm D(p)}$.

La fonction de transfert en boucle fermée est $\mathrm H_f(p) = \displaystyle \frac{1\mathrm H_0(p)}{1 + \mathrm H_0(p)}$.

Un système linéaire et continu est stable si les pôles de sa fonction de transfert en boucle fermée sont à partie réelles strictement négatives. Par conséquent, $1 + \mathrm H_0(p) = 0$ ne doit accepter que des solutions, réelles ou complexes, dont les parties réelles sont négatives strictement.

Il est souvent complexe de calculer les valeurs de $p$ qui vérifient l'équation $1 + \mathrm H_0(p) = 0$.

La méthode de Routh permet de conclure à la stabilité ou non du système.

La procédure est la suivante :

$\mathrm D(p) = \rm a_ns^n + a_{n-1}s^{n-1}+ \ldots + a_0$ est le polynôme se situant au dénominateur de $\mathrm H_0(p)$.

Les critères :

Si l'un des critères suivants est vérifié, le système est instable :

• L'un des coefficients $\rm a_i$ est nul ;
• Tous les coefficients $\rm a_i$ ne sont pas de même signe.

Dans le cas où tous les coefficients $\rm a_i$ sont de même signe et non nuls, il faut créer le tableau de Routh.

Sur les deux premières lignes du tableau, on place les coefficients $\rm a_i$ :

Exemple :

\[\mathrm D(p) = \rm a_6p^6 + a_5p^5 + a_4p^4 + a_3p^3 + a_2p^2 +a_1p^1 +a_0\]

Les lignes suivantes s'écrivent de la façon suivante :

Si tous les termes de la deuxième colonne du tableau sont de même signe le système est stable.

Dans le cas où l'on rencontre lors de la constitution du tableau un terme de la deuxième colonne s'annulant prématurément, on le remplace par le chiffre correspond à la multiplication du terme situé juste au-dessus avec la puissance en $p$ correspondante.

Les systèmes du second ordre sont définis par une équation différentielle ayant la forme suivante :


$\displaystyle \tau \frac{ds(t)}{dt} +s(t)=K.e(t)$

On peut dès lors définir la fonction de transfert sous l’écriture de Laplace :

$\displaystyle H(p)= \frac{S(p)}{E(p)}= \frac{K}{1+ \tau \rho}$

Etude de la réponse impulsionnelle

La grandeur d’entrée $e(t) = \delta (t)$ a pour transformée de Laplace : $E(p) = 1$
$\displaystyle S(p) = H(p) . E(p) = \frac{K}{1+ \tau \rho}$
On obtient alors : $\displaystyle s(t) = \frac{k}{\tau} \exp⁡(-\frac{t}{\tau})$


Etude de la réponse indicielle

 La grandeur d’entrée $e(t) = E.u(t)$ (ou $e(t) = E.\Gamma (t)$ que l’on retrouve dans la littérature) a pour transformée de Laplace : $\displaystyle E(p) = \frac{E}{p}$ 
$\displaystyle \frac{S(p)}{E(p)}= \frac{K}{1+ \tau \rho}$ soit $\displaystyle S(p) = \frac{K}{1+ \tau \rho} \frac{E}{p}$.
On obtient alors : $\displaystyle s(t) = k.E \big( 1-\exp (-\frac{t}{\tau}) \big) $

Les systèmes du second ordre sont définis par une équation différentielle ayant la forme suivante :



$\displaystyle \frac{1}{\omega_0^2} \frac{d^2 s(t))}{dt^2} + \frac{2 \xi }{\omega_0} \frac{ds(t)}{dt}+s(t)=K.e(t)$

On peut dès lors définir la fonction de transfert sous l’écriture de Laplace :

$\displaystyle H(p)= \frac{S(p)}{E(p)} = \frac {K}{1+\frac{2\xi}{\omega_0}p + \frac{p^2}{\omega_0^2}}$

Etude de la réponse impulsionnelle

La grandeur d’entrée $e(t)$ a pour transformée de Laplace : $E(p) = 1$.
Afin de trouver les pôles de cette fonction de transfert, on détermine les expressions de $p$ telles que le dénominateur de la fonction de transfert soit nulle.

$\displaystyle 1+\frac{2\xi}{\omega_0}p+\frac{p^2}{\omega_0^2}=0$

Le discriminant est : $\displaystyle \Delta = \left(\frac{2\xi}{\omega_0}\right)^2-4 \frac{1}{\omega_0^2} = \frac{4}{\omega_0^2} (\zeta^2-1)$

Le nombre de pôles dépend du signe de $\Delta$ :

• Si $\Delta > 0$ (soit $\xi > 1$) : on a deux solutions réelles :
  

$\displaystyle p_1= \frac{-\frac{-2\zeta}{\omega_0} + \frac{2}{\omega_0} \sqrt{\zeta^2-1}}{\frac{2}{\omega_0^2}} = -ω_0\left(\zeta-\sqrt {\zeta^2-1}\right)$

$\displaystyle p_2= \frac{-\frac{-2\zeta}{\omega_0} - \frac{2}{\omega_0} \sqrt{\zeta^2-1}}{\frac{2}{\omega_0^2}} = -ω_0\left(\zeta+\sqrt {\zeta^2-1}\right)$

Ce qui nous permet d’écrire le dénominateur sous la forme factorisée :

$\displaystyle 1+\frac{2\xi}{\omega_0}  p+\frac{p^2}{\omega_0^2}=\frac{1}{\omega_0^2}(p-p_1 ).(p-p_2)$

Et la fonction de transfert : $\displaystyle H(p)= \frac{K}{1+\frac{2\xi}{\omega_0}  p+\frac{p^2}{\omega_0^2}} = \frac{K.\omega_0^2}{(p-p_1 ).(p-p_2 )}$

Ainsi $\displaystyle S(p) = H(p) . E(p) = \frac{K.\omega_0^2}{(p-p_1 ).(p-p_2 )}$

Selon les tables, la transformée inverse de $\displaystyle \frac{1}{(p+a).(p+b)}$ est : $\displaystyle \frac{e^{-bt}-e^{-at}}{a-b}.u(t)$

$\displaystyle \frac{K.\omega_0^2}{(p-p_1).(p-p_2)} = K. \omega_0^2 \frac{1}{(p-p_1).(p-p_2)} = K. \omega_0^2 \frac{1}{(p+(-p_1)).(p+(-p_2))}$ 

Ainsi $\displaystyle s(t) = K. \omega_0^2.\frac{exp⁡(p_2 t)-\exp⁡(p_1 t)}{p_2-p_1}.u(t)$

$p_2 – p_1 = -\omega_0 (\zeta+\sqrt {\zeta^2-1}) + \omega_0 (\zeta- \sqrt{\zeta^2-1}) = -2\omega_0 \sqrt{\zeta^2-1}$

soit $\displaystyle s(t) = K. \omega_0^2 . \frac{exp⁡(p_2 t)-exp⁡(p_1 t)}{-2\omega_0 \sqrt{\zeta^2-1}}.u(t)$

d’où : $\displaystyle s(t) = \frac{K.\omega_0}{2 \sqrt{\zeta^2-1}} .(e^{p_1 t}-e^{p_2 t}).u(t)$

$s(t)$ a la forme suivante :

$\bbox{\text {Il s'agit d'un régime apériodique. On dit également que le système est amorti}}$

• Si $\Delta = 0$ (soit $\xi = 1$) : on a une solution double réelle :

$\displaystyle p_0= \frac{\frac{-2 \zeta}{\omega_0 }}{\frac{2}{\omega_0^2}} =-2\zeta \omega_0 < 0$

Ce qui nous permet d’écrire le dénominateur sous la forme factorisée :

$\displaystyle 1+ \frac{2\xi}{\omega_0} p+\frac{p^2}{\omega_0^2} =\frac{1}{\omega_0^2}(p-p_0)^2$

Et la fonction de transfert : $\displaystyle H(p)= \frac{K}{1+\frac{2\xi}{\omega_0}  p+\frac{p^2}{\omega_0^2}} = \frac{K.\omega_0^2}{(p-p_0)^2}$

Ainsi $\displaystyle S(p) = H(p) . E(p) = \frac{K.\omega_0^2}{(p-p_0)^2}$

Selon les tables, la transformée inverse de $\displaystyle \frac{1}{(p+a)^2}$ est : $t.e^{-a.t}.u(t)$

$\displaystyle \frac{K.\omega_0^2}{(p-p_0)^2} = K.\omega_0^2. \frac{1}{(p-p_0)^2}$

Ainsi $s(t) = K.\omega_0^2.t.e^{p_0.t}.u(t)$

$S(t)$ a une évolution temporelle très similaire au cas précédent.

Dans la réalité le cas particulier où $\xi$ est exactement égal à 1 est fort peu probable.

• Si $\Delta < 0$ (soit $\xi < 1$) : on a deux solutions complexes :

$\displaystyle \Delta = \frac{4}{\omega_0^2}(\zeta^2-1) = \frac{4}{\omega_0^2} (-j^2.\zeta^2+j^2) = \frac{4.j^2}{\omega_0^2}(1- \zeta^2) = \left(\frac{2j/}{\omega_0}\sqrt{1-\zeta^2}\right)^2$

Les solutions complexes s’écrivent :

$\displaystyle p_1= \frac{\frac{-2\zeta}{\omega_0}+\frac{2j}{\omega_0}\sqrt{1-ζ^2}}{ \frac{2}{\omega_0^2}} = -\omega_0 \zeta + j\omega_0 \sqrt{1-\zeta^2}$ 

$\displaystyle p_2= \frac{\frac{-2\zeta}{\omega_0}-\frac{2j}{\omega_0}\sqrt{1-ζ^2}}{ \frac{2}{\omega_0^2}} = -\omega_0 \zeta - j\omega_0 \sqrt{1-\zeta^2}$ 

On note $\omega = \omega_0 \sqrt{1-\zeta^2}$ 

La réponse $s(t)$ est alors de la forme : $\displaystyle s(t) = \frac{K.\omega_0}{\sqrt{1-\zeta^2}} .e^{-ζω_o t}.\sin⁡(\omega t+ \varphi).u(t)$

$s(t)$ a la forme suivante :

Etude de la réponse indicielle

L’entrée est un échelon de tension : $\displaystyle e(t) = 1.u(t)$ soit $\displaystyle E(p) = \frac{1}{p}$
Ainsi $\displaystyle S(p) = H(p) . E(p) = \frac{K}{p(1+\frac{2\zeta}{\omega_0} p+\frac{p^2}{\omega_0^2}}=\frac{K.\omega_0^2}{p(p^2+2\zeta \omega_0 p+\omega_0^2)}$ 
On détermine à nouveau les pôles du dénominateur en solutionnant : $p(p^2+2\zeta \omega_0 p+\omega_0^2)=0$
La parenthèse est une équation du second degré à résoudre. Le discriminant a trois possibilités :

• Si $\Delta > 0$ (soit $\xi > 1$) : on a deux solutions réelles $p_1$ et $p_2$ :

$S(p)$ s’écrit alors : $\displaystyle S(p) = \frac{K.\omega_0^2}{p(p-p_1 ).(p-p_2)}$

La réponse temporelle est $s(t) = K\left[1-\frac{\omega_0}{2 \sqrt{\zeta^2-1}}\left(\frac{e^{-p_2 t}}{p_2} -\frac{e^{-p_1 t}}{p_1}\right)\right]$

En $t = 0$, la courbe admet une tangente horizontale. La courbe atteint son asymptote sans la dépasser.

Lorsque l’on s’éloigne de $t=0$, la courbe ressemble à une courbe du premier ordre. Dans ce cas, la constante de temps avoisine $\tau=3 x 2\zeta \omega_0$

• Si $\Delta = 0$ (soit $\xi = 1$) : on a une solution double réelle :
  

Comme évoqué lors de la réponse impulsionnelle, ce cas n’existe pas dans la réalité

• Si $\Delta < 0$ (soit $\xi < 1$) : on a deux solutions complexes :
  

La réponse temporelle est alors :

$\displaystyle S(t) = K \left[ 1-\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}} e^{-\zeta \omega_0 t} \left( \zeta.\sin (\omega_0 \sqrt{1-\zeta^2} t) + \sqrt{1-\zeta^2}.\cos(\omega_0 \sqrt{1-\zeta^2} t) \right) \right]$

$S(t)$ a pour forme :

On constate alors que $s(t)$ passe au-dessus de la valeur asymptotique : il s’agit de dépassement $D_i$.

 $\displaystyle D_i = K.\exp\left( \frac{-\zeta.\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}\right)$

La pseudo-période $T_p$ égalise $\Delta t$ sur le graphe. $\displaystyle T_p=  \frac{2\pi}{\omega_0 \sqrt{1-\zeta^}}$

Le temps de réponse à 5% est donné par les abaques.

En automatisme, un système est défini par une ou plusieurs grandeurs d’entrée et génère une ou plusieurs grandeurs de sorties.
Habituellement le système possède une ou deux (au maximum) entrées et une seule sortie et est représenté par un schéma bloc comme ci-dessous :

 
$s(t)$ est fonction de $e(t)$. La relation existante entre l’entrée et la sortie s’écrit sous la forme d’une équation différentielle : $\displaystyle s(t) = a_n \frac{d^n e(t)}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1}e(t)}{dt^{n-1}}+ ⋯ + a_1 e(t)+ a_0$
Afin de déterminer la solution $s(t)$, on utilise l’outil transformation de Laplace.
Par exemple si : $\displaystyle s(t) = a \frac{de}{dt}+b.e$
La transformée de Laplace donne $S(p) = a p E(p) + b E(p)$
Soit $S(p) = ( a p + b ) E(p)$ d’où : $\displaystyle S(p) = \frac{E(p)}{a p+b}$
A l’aide des tables de transformées inverses de Laplace, et connaissant $E(p)$, il est possible de retrouver l’expression de $s(t)$.
Un exemple de table est donné ci-après. 

               ...                                         …

Le rapport $\displaystyle H(p) = \frac{S(p)}{E(p)}$ est appelé fonction de transfert du bloc.

Exemple de mise en équation :
$\displaystyle e(t) = L \frac{di}{dt} + R.i$ et $\displaystyle i = \frac{s}{R}$
donc : $\displaystyle e(t) = \frac{L}{R} \frac{ds(t)}{dt}+s(t)$ 
Par transformation de Laplace : $\displaystyle E(p) = \frac{L}{R} p S(p) + S(p)$ soit $\displaystyle E(p) = (\frac{L}{R}  p+1) S(p)$
$\displaystyle H(p) = \frac{1}{1+\frac{L}{R} p}$

Un système peut être un ensemble de schémas blocs. Le schéma bloc en boucle fermé est représenté par :


$\varepsilon (p) = E(p) – G(p).S(p)$
$S(p) = H(p) . \varepsilon (p)$
Soit $S(p) = H(p) . ( E(p) – G(p).S(p))$ 
D’où $S(p) (1 + H(p).G(p)) = H(p).E(p)$
Et donc $\displaystyle \frac{S(p)}{E(p)}= \frac{H(p)}{1+H(p).G(p)}$