Le hacheur

Un hacheur est un convertisseur statique qui permet d’alimenter une charge sous une tension réglable, à partir d’une source de tension constante. 

Le hacheur est un convertisseur continu – continu. Son symbole est représenté ci dessous :

Le montage ci dessous explique le fonctionnement du hacheur.

$\rm K$ est un interrupteur électronique commandé périodiquement.
$\rm T$ est la période correspondant à cette commande
$\rm K$ peut se trouver dans deux états :

• Ouvert : le courant i ne peut pas circuler ;
• Fermé : le courant i peut circuler, mais dans une seule direction : de la source de tension vers la charge.

L’interrupteur que l’on utilise est donc unidirectionnel en courant et est commandable à l’ouverture et à la fermeture. Son symbole est le suivant :

$\rm K$ est commandé sur une période :

• $\rm 0 < t < \alpha T$, $\rm K$ est fermé : la commande $\rm h$ est activé : en logique $\rm h = 1$
• $\rm \alpha T < t < T$, $\rm K$ est ouvert : la commande $\rm h$ est désactivée : en logique $\rm h = 0$

$\alpha$ est appelé rapport cyclique ; $\alpha \in [0~ ; 1]$.

On représente en concordance des temps les chrnogrammes de $\rm h$, $\rm u_R$, $\rm i$ et $\rm u_H$.

• Lorsque $\rm h =1$ : le circuit est le suivant :

L’interrupteur est fermé : la tension à ses bornes est donc nulle : $\rm u_K = 0$.
Le courant peut alors circuler. 
Or $\rm E = u_K + u_R$. Puisque $\rm u_K = 0$, $\rm u_R = E$

L’intensité du courant s’écrit $\rm \displaystyle i = \frac{u_R}{R} = \frac{E}{R}$.

• Lorsque $\rm h = 0$ : le circuit est le suivant :

L’interrupteur est ouvert : le courant ne peut plus circuler : $\rm i = 0$.

Or $\rm u_R = R~ i$ donc $\rm u_R = 0$.

De plus $\rm E = u_K + u_R$. Puisque $\rm u_R = 0$, $\rm u_K = E$.

On obtient par conséquent les chronogrammes suivants :

• Valeur moyenne de $\bf{u_R : < u_R >}$
  

$\displaystyle \rm < u_R > = \frac{1}{T} \int^T_0 u_R~dT$

Pour $\rm t \in [0~ ; \alpha T]$, $\rm u_R = E$
Pour $\rm t \in [\alpha T~ ;  T]$, $\rm u_R = 0$

Par conséquent : $\rm \displaystyle < u_R > = \frac{1}{T}\int^{\alpha T}_0 E\cdot dT = \frac{1}{T} \left[~E\cdot t~\right ]^{\alpha T}_0 = \frac{E}{T} E \left(\alpha T - 0\right) = \frac{E}{T} E\cdot \alpha \cdot T$

$$\bf{< u_R > = \alpha E}$$

Le réglage de la valeur moyenne de la tension aux bornes de la résistance $\rm R$ s’effectue par un réglage du rapport cyclique.

• Valeur efficace de $\bf{u_R : U_R}$
  

$\rm \displaystyle \sqrt{\frac{1}{T}\int^T_0u^2_R(t) \cdot dt}$ $\rm \displaystyle = \sqrt{\frac{1}{T}\int^{\alpha T}_0 E^2 \cdot dt}$ $\rm \displaystyle = \sqrt{\frac{1}{T} E^2 \alpha T} = \sqrt \alpha \cdot E$

$$\displaystyle \bf{U_R = \sqrt \alpha~ E}$$

• Valeur moyenne de $\bf i$ :
  

$\rm u_R = R~ i$ soit $\rm < u_R > = < R~ i > = R < i >$ d’où $\displaystyle \rm < i > = \frac{<u_R>}{R}$  

$$\displaystyle \bf{< i > = \frac{\alpha\cdot E}{E}}$$

Dans le cas d’une charge inductive d’inductance très élevée, on peut considérer que cette charge est un récepteur de courant parfait. Le montage du hacheur sur une charge inductive est le suivant :

$\rm K_1$, comme précédemment, est un interrupteur unidirectionnel en courant et commandable à l’ouverture et à la fermeture.
$\rm K_2$ est unidirectionnel en courant et doit être complémentaire à $\rm K_1$ : lorsque $\rm K_1$ est fermé, $\rm K_2$ est ouvert ; lorsque $\rm K_1$ est ouvert, $\rm K_2$ est fermé.

$\rm K_2$ est une diode appelée diode de roue libre.

A nouveau, le transistor K est commandé sur une période :

• $\rm 0 < t < \alpha T$, $\rm K$ est fermé : la commande $\rm h$ est activée : en logique $\rm h = 1$
• $\rm \alpha T < t < T$, $\rm K$ est ouvert : la commande $\rm h$ est désactivée : en logique $\rm h = 0$
  

Lorsque $\bf K$ est fermé :

Lorsque $\bf K$ est ouvert :

Lorsque la charge inductive ne peut être considérée comme parfaite, on doit utiliser le modèle équivalent de la charge inductive réelle. Ce modèle s’applique très fréquemment à l’induit d’un moteur à courant continu :

$\rm R$ représente sa résistance ;
$\rm L$ représente l’inductance du bobinage ;
$\rm E’$ représente la $\rm f.é.m$ du moteur.
$\rm E$ est la tension d’alimentation du hacheur.

Une charge $\rm R~ L~ E’$ est assimilable à une source de courant parfaite si L est très grande. Les chronogrammes sont ceux donnés pour la source de courant (paragraphe précédent).

• Pour $\bf{t \in [0~ ; \alpha T] : u = E}$ car l’interrupteur $\bf K$ est fermé. 
  

Soit $\rm u = E = u_R + u_L + E’$
Or $\rm u_R = Ri$ et $\rm u_L = L$  ; on obtient donc : $\rm \displaystyle E = Ri + L \frac{di}{dt} + E’$.

$\rm u_D = - u = -E \qquad i_D = 0 \qquad i_S = i = I$

L’inductance emmagasine de l’énergie durant cette phase, sous forme électromagnétique.

• Pour $\bf{t \in [\alpha T ~; T]}$, $\bf{u = 0}$ car l’interrupteur $\bf K$ est ouvert.
  

Dans ce cas : $\rm \displaystyle 0 = Ri + L \frac{di}{dt} + E’$.

Durant cette phase, l’inductance restitue l’énergie accumulée précédemment.

$\rm u_D = 0 \qquad i_D = i = I \qquad i_S = 0$

La valeur moyenne du courant est calculée de la façon suivante : 

$\rm \displaystyle u = Ri + L \frac{di}{dt} + E’$ soit $\rm \displaystyle < u > = < Ri > + < L \frac{di}{dt} > + < E’ >$.

La valeur moyenne de la tension aux bornes d’une inductance est toujours nulle lorsque la tension à ses bornes est périodique : soit $\rm \displaystyle < L \frac{di}{dt} > = 0$
Par conséquent : $\rm < u > = < R~i > + < E’ > = R < i > + E’$

Or $\rm < u > = \alpha E$ d’où : 

$$\displaystyle \bf{< i > = \frac{\alpha E - E'}{R}}$$

On effectue deux hypothèses de travail : 

• L’inductance $\rm L$ est suffisamment grande pour que l’on puisse négliger à chaque instant $\rm Ri$ devant $\rm \displaystyle L \frac{dit}{dt}$.
• La valeur de $\rm E’$ est constante au cours du temps.

Par conséquent, à chaque instant : $\rm \displaystyle u = E’ + L \frac{di}{dt}$.

• Pour $\displaystyle \bf{t \in [0 ~; \alpha T]}$, $\displaystyle \bf{E = E’ + L \frac{di}{dt}}$ $\quad$ $\displaystyle\bf{\frac{di}{dt} = \frac{E - E'}{L}}$ soit $\displaystyle\bf{di = \frac{E - E'}{L}dt}$
  

On intègre $\rm di$ entre $0$ et $\rm \displaystyle t : \int^t_0 di = \int^t_0\frac{E - E'}{L}dt$
On obtient alors : $\rm \displaystyle i (t) – i (0) = \frac{E - E'}{L}t$ soit $\rm \displaystyle i (t) = i (0) + \frac{E - E'}{L}t$ $\quad$ $\rm \displaystyle \frac{E - E'}{L} > 0$ donc $\rm i (t)$ croît en fonction du temps de façon linéaire entre $0$ et $\rm \alpha T$.
On pose $\rm \breve{ı}= i (0)$. On obtient par conséquent :
Pour $\rm \displaystyle t \in [0~ ; \alpha T] : i (t) = \breve{ı} + \frac{E - E'}{L} t$

• Pour $\bf{t \in [\alpha T ~; T]}$, $\displaystyle\bf{u = 0 = E’ + L \frac{di}{dt}}$ $\quad$ $\displaystyle \bf{\frac{di}{dt}}$ soit $\displaystyle \bf{di = - \frac{E'}{L}dt}$.
  

On intègre $\rm di$ entre $\rm \alpha T$ et $\displaystyle \rm t : \int^t_{\alpha t} di = \int^t_{\alpha t} - \frac{E'}{L}dt$  
On obtient alors : $\rm \displaystyle i (t) – i (\alpha T) = -\frac{E'}{L}(t - \alpha T)$ soit $\rm \displaystyle i (t) = i (\alpha T) - \frac{E'}{L}(t - \alpha T)$$\quad$ $\rm - \frac{E'}{L}< 0$ donc $\rm i (t)$ décroît de façon linéaire entre $\rm \alpha T$ et $\rm T$.
On pose $\rm \breve ı = i (\alpha T)$. On obtient par conséquent :
Pour $\rm \displaystyle t \in [\alpha T ~; T] : i (t) = \breve ı  - \frac{E'}{L}(t - \alpha T)$

L’évolution du courant $\rm i (t)$ est représentée ci dessous :

On cherche à déterminer les expressions de $\rm \hat I$ et $\rm\breve I$ ainsi que l’ondulation de courant $\rm \hat I - \breve I$ en fonction des grandeurs caractéristiques du montage.

$\rm I (\alpha T) – i (0) = \hat I - \breve I$ 
$\displaystyle \rm I (0) = I (T) = \hat I = \breve I - \frac{E'}{L}(T - \alpha T)$.

D’où $\rm \displaystyle \hat I - \breve I = \frac{E'}{L} T (1 - \alpha)$

De même, $\rm i (\alpha T^-) = i (\alpha T^+)$ 

$\displaystyle \rm \breve I + \frac{E - E'}{L}\alpha T = \hat I$ soit $\displaystyle \bf{\hat I - \breve I = \frac{E - E'}{L} \alpha T}$.

La valeur moyenne de $\rm i$ est donné par la relation : $\displaystyle \bf{< i > = \frac{\hat I + \breve I}{2}}$.

On obtient donc le système suivant :

$\left\{\begin{array}{ll}\rm \hat I + \breve I = 2 < i > \\ \rm \displaystyle \hat I - \breve I = \frac{E - E'}{L} \alpha T \end{array}\right.$ $\qquad$ on obtient alors : $\qquad$ $\left\{\begin{array}{ll}\rm \displaystyle \hat I = < i > + \frac{E - E'}{2L}\alpha T \\ \rm \displaystyle \breve I = < i > - \frac{E - E'}{2L} \alpha T \end{array}\right.$

La représentation graphique des chronogrammes des différentes grandeurs électriques est donnée page suivante.