Suite arithmétique et suite géométrique

1) Suite arithmétique

a) Définition :

$(u_n)_{n \ge 0}$ est une suite arithmétique s’il existe une constante réelle $r$ telle que $\forall n \in {\Bbb N}$, $u_{n+1} = u_n + r$.

b) Formule en fonction de $n$.

Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = u_{0} + rn$.

Remarque : si la suite $(u_n)_{n\ge1}$ commence à $u_1$ alors $u_n = u_{1} + r(n-1)$.

c) Somme des termes d’une suite arithmétique.

Dans la pratique, il suffit de connaître la somme fondamentale :

$$\displaystyle{S_n = 1+2+\ldots + n = \sum_{k=0 \mbox{ ou }1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}}.$$

En effet, soit $(u_n)_{n\ge 0}$ la suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$.

$$\displaystyle{\sum_{k=0}^{n} u_k = \sum_{k=0}^{n} (u_{0} + rk) = \sum_{k=0}^{n} u_{0} + r \sum_{k=0}^{n} k}\\ = (n+1)u_{0} + rS_n = (n+1)u_{0} + r\frac{n(n+1)}{2}.$$

2) Suite géométrique

a) Définition :

$(u_n)_{n \ge 0}$ est une suite géométrique s’il existe une constante réelle $q$ telle que $\forall n \in {\Bbb N}$, $u_{n+1} = qu_n$.

b) Formule en fonction de $n$.

Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = u_{0}q^n$.

Remarque : si la suite $(u_n)_{n\ge1}$ commence à $u_1$ alors $u_n = u_{1}q^{n-1}$.

c) Somme des termes d’une suite géométrique.

Dans la pratique il suffit de connaître la somme fondamentale :

$$\displaystyle{S_n = 1+q+q^2+\ldots+q^n}\\ \displaystyle{ = \sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^n}{1-q}}\text{ si }q \neq 1.$$

Si $q=1$, $S_n=n+1$.

Soit $(u_n)_{n \ge 0}$ une suite géométrique de raison $q$.

$$\displaystyle{\sum_{k=0}^{n} u_k = \sum_{k=0}^{n} u_{0}q^k = u_{0} \sum_{k=0}^{n} q^k}\\ = u_0\displaystyle \frac{1-q^n}{1-q}\text{ si }a \neq 1.$$

Et $\displaystyle{\sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1)u_0}$ si $a=1$.