1) Suite arithmétique

a) Définition :

(un)n≥0 est une suite arithmétique s’il existe une constante réelle r telle que ∀n∈N, un+1=un+r.

b) Formule en fonction de n.

Pour tout entier naturel n, on a un=u0+rn.

Remarque : si la suite (un)n≥1 commence à u1 alors un=u1+r(n−1).

c) Somme des termes d’une suite arithmétique.

Dans la pratique, il suffit de connaître la somme fondamentale :

Sn=1+2+…+n=n∑k=0 ou 1k=n(n+1)2.

En effet, soit (un)n≥0 la suite arithmétique de raison r et de premier terme u0.

n∑k=0uk=n∑k=0(u0+rk)=n∑k=0u0+rn∑k=0k=(n+1)u0+rSn=(n+1)u0+rn(n+1)2.

2) Suite géométrique

a) Définition :

(un)n≥0 est une suite géométrique s’il existe une constante réelle q telle que ∀n∈N, un+1=qun.

b) Formule en fonction de n.

Pour tout entier naturel n, on a un=u0qn.

Remarque : si la suite (un)n≥1 commence à u1 alors un=u1qn−1.

c) Somme des termes d’une suite géométrique.

Dans la pratique il suffit de connaître la somme fondamentale :

Sn=1+q+q2+…+qn=n∑k=0qk=1−qn1−q si q≠1.

Si q=1, Sn=n+1.

Soit (un)n≥0 une suite géométrique de raison q.

n∑k=0uk=n∑k=0u0qk=u0n∑k=0qk=u01−qn1−q si a≠1.

Et n∑k=0uk=(n+1)u0 si a=1.