Fonction réciproque

Soit $A$ et $B$ deux parties de ${\Bbb R}$. Une bijection de $A$ dans $B$ est une fonction de $A$ dans $B$ tel que tout élément de $B$ admet un unique antécédent par $f$ dans $A$.

Si une $f$ est une bijection, on peut alors définir l'application réciproque $f^{-1}$ de $B$ dans $A$ qui a $y$ de $B$ associe son unique antécédent.

Exemple : la fonction $f$ de ${\Bbb R}^+$ dans ${\Bbb R}$ définie par $f(x)=x^2$ n'est pas bijective car $-1$ (par exemple) n'a pas d'antécédent.

La fonction $g$ de ${\Bbb R}$ dans ${\Bbb R}^+$ définie par $g(x)=x^2$ n'est pas bijective car $9$ a deux antécédents qui sont $3$ et $-3$.

La fonction $h$ de ${\Bbb R}^-$ dans ${\Bbb R}^+$ définie par $h(x)=x^2$ est bijective. Son application réciproque est l'application $h^{-1}: {\Bbb R}^+ \longrightarrow {\Bbb R}^-$ définie par $h^{-1}(y) = -\sqrt{y}$.

Théorème : une fonction d'un intervalle $I$ dans ${\Bbb R}$ strictement monotone et continue est bijective. La réciproque est fausse.

Exemple : la fonction $f$ définie par

est une bijection de $[0,2]$ dans $[0,3]$. Mais elle n'est ni strictement monotone ni continue.

Théorème : le graphe de l'application réciproque se déduit du graphe de $f$ par une symétrie par rapport à la première bissectrice c'est-à-dire la droite d'équation $y=x$.

Soit $f$ est une application bijective de $I$ dans $J$ ($I$ et $J$ des intervalles de ${\Bbb R}$). Si $f$ est continue et (par exemple) strictement croissante alors l'application réciproque $f^{-1}$ de $J$ dans $I$ est aussi continue et strictement croissante.

En revanche, si $f$ est dérivable en un point $x_0$, $f^{-1}$ n'est pas nécessairement dérivable en $y_0=f(x_0)$.