Fractions rationnelles, décomposition en éléments simples

Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Par exemple $F(x) = \displaystyle{\frac{2x-1}{x^3-7x+1}}$. Si on veut chercher une primitive (ou aussi dériver plusieurs fois) une fraction rationnelle, on est amené à décomposer la fraction en somme de fractions plus simples. Cette technique s'appelle la décomposition en éléments simples (DES). Nous allons la décrire en plusieurs étapes.

1) La première chose à faire est de faire un peu le ménage dans la fraction.

Par exemple, avant de décomposer $\displaystyle{F(x) = \frac{x^4-x^2}{(x-1)^2}}$, il faut d'abord simplifier la fraction. Pour cela, on factorise (il faut penser parfois aux identités remarquables) :

\[\displaystyle{F(x) = \frac{x^2(x^2-1)}{(x-1)^2} = \frac{x^2(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} = \frac{x^2(x+1)}{x-1} }.\]

Donc la fraction que l'on décompose est $\displaystyle{F(x) = \frac{x^3+x^2}{x-1}}$.

2) A partir de maintenant on supposera que notre fraction $\displaystyle{F(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}}$ est simplifiée au maximum.

Si le numérateur $P$ a un degré $>$ au degré du dénominateur $Q$ alors il y a une partie entière. C'est-à-dire que $F$ se décompose en $F=E + G$ avec $E$ un polynôme et $G$ une fraction rationnelle qui a un dénominateur de degré $>$ que le degré du numérateur. Pour trouver $E$ et $F$, on effectue la division euclidienne du polynôme $P$ par le polynôme $Q$.

Voici un exemple simple où il n'y a pas besoin de division euclidienne :
$\displaystyle{F(x) = \frac{x}{x+1}}$.

L'astuce consiste à faire apparaître au numérateur le dénominateur en écrivant :

\[\displaystyle{F(x) = \frac{x}{x+1} = \frac{x+1-1}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} - \frac{1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}}\]

(la partie entière est donc le polynôme constant $1$).

3) PÔLES SIMPLES

Supposons à présent que notre fraction n'ait pas de partie entière. On factorise le dénominateur. Par exemple soit $\displaystyle{F(x) = \frac{1}{x^2-x-2} = \frac{1}{(x+1)(x-2)}}$.

Les valeurs d'annulation du dénominateur soit $-1$ et $2$ s'appellent des pôles de la fraction $F$. Ici il s'agit de pôles SIMPLES car les facteurs $(x+1)$ et $(x-2)$ sont à la puissance $1$.

La théorie nous dit alors que la DES de $F$ est du type $\displaystyle{F(x) = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x-2}}$ avec des coefficients $a$ et $b$ à chercher. 

Une méthode serait de mettre tout sur le même dénominateur et d'identifier avec le numérateur de la fraction initiale qui est $1$. Cette méthode est possible s'il n'y a pas trop de fractions à additionner (ici il n'y a que deux fractions).

La méthode générale est la suivante : on définit la fraction $F_{-1}(x) = (x+1)F(x)$ soit $\displaystyle{F_{-1}(x) = \frac{1}{x-2}}$.

(Remarque : on indice $F$ par le pôle. Ici le pôle est $-1$ donc on note $F_{-1}$. Si le pôle était $5$, on noterait $F_5$).

On a alors $a = F_{-1}(-1)$ ce qui donne ici $\displaystyle{a = \frac{1}{-1-2} = -\frac{1}{3}}$.

De même, pour avoir $b$, on définit $\displaystyle{F_2(x) = (x-2)F(x) = \frac{1}{x+1}}$. Alors $\displaystyle{b= F_2(2) = \frac{1}{3}}$.

On a donc finalement :

\[\displaystyle{F(x) = \frac{-1/3}{x+1} + \frac{1/3}{x-2} = \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-2}\right)}.\]

4) PÔLES DOUBLES

Soit par exemple la fraction $\displaystyle{F(x) = \frac{4x^3}{x^4-2x^2+1}}$ (elle n'a pas de partie entière). On factorise le dénominateur. On remarque (ou pas !) que le dénominateur est une identité remarquable.

On a $x^4-2x^2+1 = (x^2-1)^2 = [(x-1)(x+1)]^2 = (x-1)^2(x+1)^2$.

La fraction s'écrit donc $\displaystyle{F(x) = \frac{4x^3}{(x-1)^2(x+1)^2}}$.

Ici, $F$ a deux pôles $1$ et $-1$. Mais comme les facteurs $x-1$ et $x+1$ sont au carré, on dit qu'il s'agit de pôles DOUBLES. La théorie dit alors que la DES de $F$ est du type
$\displaystyle{F(x) = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{(x+1)^2} + \frac{c}{x-1} + \frac{d}{(x-1)^2}}$.

Pour déterminer $a$ et $b$, on définit à présent $\displaystyle{F_{-1}(x) = (x+1)^2F(x) = \frac{4x^3}{(x-1)^2}}$.

On a alors la formule $\displaystyle{b = F_{-1}(-1) =\frac{-4}{(-1-1)^2} = -\frac{4}{4} = -1}$.

La théorie nous dit aussi que $a = F_{-1}'(-1)$ (la dérivée de $F_{-1}$ appliquée en $-1$).

Or $\displaystyle{F'_{-1}(x) = \frac{12x^2(x-1)^2-4x^32(x-1)}{(x-1)^4} = \frac{12x^2(x-1)-8x^3}{(x-1)^3}}$ (inutile de développer !). On remplace $x$ par $-1$ : $\displaystyle{a = F_{-1}'(-1) = \frac{16}{8}=2}$ donc $a=2$.

Pour déterminer $c$ et $d$, on définit à présent $\displaystyle{F_{1}(x) = (x-1)^2F(x) = \frac{4x^3}{(x+1)^2}}$.

On a alors la formule $\displaystyle{d = F_{1}(1) =\frac{4}{(1+1)^2} = \frac{4}{4} = 1}$.

La théorie nous dit aussi que $c = F_{1}'(1)$. Or $\displaystyle{F'_{1}(x) = \frac{12x^2(x+1)^2-4x^32(x+1)}{(x+1)^4} = \frac{12x^2(x+1)-8x^3}{(x+1)^3}}$. On remplace $x$ par $1$ : $\displaystyle{c = F_{1}'(1) = \frac{16}{8}=2}$ donc $c=2$.

Au final, on a donc $\displaystyle{F(x) = \frac{2}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{2}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2}}$.

5) ÉLÉMENTS DE DEUXIÈMES ESPÈCES

Parfois le dénominateur présente des facteurs de degré $2$ qui ne se factorise pas (discriminant $<0$).

Dans ce cas, on dispose de quelques "astuces" pour faire la DES.

On considère par exemple la fraction $\displaystyle{F(x) = \frac{x}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}}$. Cette fraction ne présente pas de partie entière.

Pour factoriser le dénominateur, soit on voit une racine évidente, en l'occurrence $1$, et on fait la division euclidienne du dénominateur par $x-1$ et on continue à factoriser.

Soit on écrit $x^4-2x^3+2x^2-2x+1$ $= x^4-2x^3+x^2+ x^2-2x+1$ $= x^2(x^2-2x+1) + (x^2-2x+1)$ $= x^2(x-1)^2 + (x-1)^2$ $ = (x^2+1)(x-1)^2$.

On a donc $\displaystyle{F(x) = \frac{x}{(x^2+1)(x-1)^2}}$.

La fraction $F$ a un pôle double qui est $1$. Le facteur $x^2+1$ n'a pas de racines dans les réels. La théorie nous dit alors que la DES est de la forme $\displaystyle{F(x) = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{(x-1)^2} + \frac{cx+d}{x^2+1}}$.

La fraction $\displaystyle{\frac{cx+d}{x^2+1}}$ s'appelle un élément de deuxième espèce.

Nous avons vu la méthode pour déterminer les coefficients $a$ et $b$ (cas d'un pôle double). Après calcul, on trouve, $a=0$ et $b=1/2$.

Pour déterminer $c$ et $d$, on utilise parfois les "astuces" suivantes. On calcule par exemple la limite en $+\infty$ de $xF(x)$. Si on utilise la définition initiale de $F$, on a $\displaystyle{xF(x) = \frac{x^2}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}}$.

On sait que $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} xF(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2}{x^4}}$ (on prend le quotient des monômes de plus haut degré).

Donc $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} xF(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{x^2} = 0}$.

Si on utilise la DES : $\displaystyle{xF(x) = \frac{ax}{x-1} + \frac{bx}{(x-1)^2} + \frac{cx^2+dx}{x^2+1}}$.

La 1 ère fraction tend (en $+\infty)$ vers $a$ donc vers $0$.

La 2 ème fraction tend vers $0$.

La 3 ème fraction a la même limite que $\displaystyle{\frac{cx^2}{x^2}}$ (quotient des monômes de plus haut degré) donc vers $c$.

On en déduit l'égalité $0 = 0 + 0 + c$ donc $c=0$.

Pour déterminer $d$ on peut évaluer $F$ en un point par exemple en $0$.

Si on utilise la définition initiale de $F$, on a $F(0)=0$.

Si on utilise la DES : $F(0) = -a + b +d = -0 + 1/2 + d$ donc $0 = 1/2 +d$ donc $d=-1/2$.

Finalement, on a :

\[\displaystyle{F(x) = \frac{1/2}{(x-1)^2} + \frac{-1/2}{x^2+1}}\\ \displaystyle{F(x)= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{(x-1)^2} - \frac{1}{x^2+1}\right)}.\]