Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Par exemple . Si on veut chercher une primitive (ou aussi dériver plusieurs fois) une fraction rationnelle, on est amené à décomposer la fraction en somme de fractions plus simples. Cette technique s'appelle la décomposition en éléments simples (DES). Nous allons la décrire en plusieurs étapes.
1) La première chose à faire est de faire un peu le ménage dans la fraction.
Par exemple, avant de décomposer , il faut d'abord simplifier la fraction. Pour cela, on factorise (il faut penser parfois aux identités remarquables) :
Donc la fraction que l'on décompose est .
2) A partir de maintenant on supposera que notre fraction est simplifiée au maximum.
Si le numérateur a un degré au degré du dénominateur alors il y a une partie entière. C'est-à-dire que se décompose en avec un polynôme et une fraction rationnelle qui a un dénominateur de degré que le degré du numérateur. Pour trouver et , on effectue la division euclidienne du polynôme par le polynôme .
Voici un exemple simple où il n'y a pas besoin de division euclidienne :
.
L'astuce consiste à faire apparaître au numérateur le dénominateur en écrivant :
(la partie entière est donc le polynôme constant ).