Utilisation de l'outil vecteur de Fresnel en électricité
Mise en évidence :
Il n'est pas facile de faire la somme de deux fonctions sinusoïdales de périodes identiques :
- Les amplitudes ne s'ajoutent pas ;
- Les phases ne s'ajoutent pas.
Par exemple, on effectue la somme de $\rm u_1 + u_2$ avec :
$\displaystyle \rm u_1 = 10 \sin (\frac{2\pi}{T}t +\frac{\pi}{4})$ et $\displaystyle \rm u_2 = 15 \sin (\frac{2\pi}{T}t + \frac{\pi}{2})$
On obtient $\displaystyle \rm u_1 + u_2 = 23,17 \sin (\frac{2\pi}{T}t + \frac{2\pi}{5})$
On observe bien que $\displaystyle 10 + 15 \neq 23,17$ et $\displaystyle \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} \neq \frac{2\pi}{5}$
Définition du vecteur Fresnel :
Une tension peut s'écrire sous la forme : $\displaystyle \rm u(t) = U \sqrt 2 \sin (\omega t + \varphi)$
Le vecteur de Fresnel a pour composantes :
- Une longueur proportionnelle à la valeur efficace de $\rm u(t) : U$
- Un angle à l'origine (par rapport à l'axe des abscisses) : $\varphi$
Soit : $\displaystyle \rm \vec U (U~;~\varphi)$
Les propriétés :
Le vecteur de Fresnel possède les propriétés des vecteurs.
Les vecteurs de Fresnel peuvent se sommer si :
- Ils représentent un même type de grandeurs (somme de tensions, somme de courant, …)
- Ils représentent des grandeurs évoluant de façon alternative et sinusoïdale avec une même fréquence (on ne peut sommer avec Fresnel différents harmoniques de fréquences différentes).
Les lois usuelles telles loi des tensions partielles et loi des nœuds sont applicables aux vecteurs de Fresnel.
$$\rm u = u_1 + u_2 + u_3~devient~\vec U = \vec U_1 + \vec U_2 + \vec U_3$$
$$\rm i_1 + i_2 = i_3~devient~\vec i_1 + \vec i_2 = \vec i_3$$
Application des vecteurs de Fresnel aux courants circulants dans des charges montées en dérivation :
La tension $\rm u$ d'alimentation est sinusoïdale ; les deux charges sont linéaires ; les courants sont donc également sinusoïdaux.
La charge $1$ impose un déphasage $1$ entre $\rm i_1$ et $\rm u$.
La charge $2$ impose un déphasage $2$ entre $\rm i_2$ et $\rm u$
Puisque la tension $\rm u$ est commune aux deux charges, on prend comme origine des phases.
Afin de déterminer la valeur efficace de $\rm i$ et le déphasage de $\rm i$ par rapport à $\rm u$, on utilise la somme vectorielle : $\rm \vec I = \vec I_1 + \vec I_2$. La représentation de donne :
On projette les trois vecteurs dans un système orthonormé $\rm(O,~\vec u,~\vec v)$
$\rm \displaystyle \vec I_1 \left|
\begin{array}{ll}
\rm I_{1x} = I_1 \cos \varphi_1 \\
\rm I_{1y} = I_1 \sin \varphi_1
\end{array}
\right.
\quad
\rm \displaystyle \vec I_2 \left|
\begin{array}{ll}
\rm I_{2x} = I_2 \cos \varphi_2 \\
\rm I_{2y} = I_2 \sin \varphi_2
\end{array}
\right.
\quad
\rm \displaystyle \vec I_3 \left|
\begin{array}{ll}
\rm I_{3x} = I_3 \cos \varphi_3 \\
\rm I_{3y} = I_3 \sin \varphi_3
\end{array}
\right.$
On obtient donc : $\rm I_x = I_1 \cos \varphi_1 + I_2 \cos \varphi_2$ et $\rm I_y = I_1 \sin \varphi_1 + I_2 \sin \varphi_2$
La valeur de $\rm I$ est donnée par : $\rm \displaystyle I = \sqrt{I^2_x + I^2_y}$
La valeur de $\varphi$ est donnée par : $\rm \displaystyle \tan \varphi = \frac{I_y}{I_x}$
Représentation de la loi d'Ohm pour les dipôles élémentaires
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