5) Primitive de fractions rationnelles en $\cos(x)$ et $\sin(x)$.
Il s'agit d'un quotient de deux polynômes trigonométriques.
La méthode appelée règle de Bioche repose sur un changement de variable. Notons $f$ la fonction à intégrer.
a) Lorsque l'expression à intégrer est impaire c'est-à-dire $f(-x)=-f(x)$ alors on fait le changement de variable $y=\cos(x)$. Comme $dy = -\sin(x)d x$, il faut faire apparaître la quantité $\sin(x)dx$.
Exemple : calculer $\displaystyle{\int \frac{1}{\sin(x)}{\rm d}x}$. La fonction $\displaystyle{\frac{1}{\sin(x)}}$ est impaire. Pour faire apparaître la quantité $\sin(x)dx$, on multiplie le numérateur et le dénominateur par $\sin(x)$.
\[\begin{array}{ll}\displaystyle{A(x) = \int \frac{1}{\sin(x)}{\rm d}x}\\ \displaystyle{A(x)= \int \frac{\sin(x)}{\sin^2(x)}{\rm d}x}\\ \displaystyle{A(x)= \int \frac{\sin(x)}{1-\cos^2(x)}{\rm d}x}.\end{array}\]
On fait le changement de variable $y=\cos(x)$.
\[\displaystyle{A(x) = -\int \frac{1}{1-y^2}{\rm d}y}.\]
La fonction $\displaystyle{\frac{1}{1-y^2}}$ est une fraction rationnelle. Elle se décompose en éléments simples (DES) :
\[\displaystyle{\frac{1}{1-y^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1-y}+ \frac{1}{1+y}\right)}.\]
Donc :
\[\begin{array}{ll}\displaystyle{A(x) = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{1-y}{\rm d}y - \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+y}{\rm d}y}\\ \displaystyle{A(x) = \frac{1}{2}\ln|1-y| - \frac{1}{2} \ln|1+y|}\\ \displaystyle{A(x) = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1-y}{1+y}\right|}..\end{array}\]
En revenant à la variable initiale :
\[\begin{array}{ll}\displaystyle{A(x) = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1-\cos(x)}{1+\cos(x)}\right|}\\ \displaystyle{A(x)= \frac{1}{2}\ln\left|\frac{2\sin^2(x/2)}{2\cos^2(x/2)}\right|}\\ \displaystyle{A(x)= \ln|\tan(x/2)|}.\end{array}\]
b) Lorsque l'expression à intégrer vérifie $f(\pi-x)=-f(x)$ alors on fait le changement de variable $y=\sin(x)$. Comme $dy = \cos(x)d x$, il faut faire apparaître la quantité $\cos(x)dx$.
c) Lorsque l'expression à intégrer est $\pi$-périodique c'est-à-dire $f(x+\pi)=f(x)$ alors on fait le changement de variable $y=\tan(x)$. Comme $dy = (1+\tan^2(x))d x$ ou $\displaystyle{dy = \frac{1}{\cos^2(x)}d x}$, il faut donc faire apparaître la quantité $(1+\tan^2(x))d x$ ou $\displaystyle{ \frac{1}{\cos^2(x)}d x}$.
d) Si l'une des trois règles ci-dessus ne s'applique pas alors on effectue le changement de variable $t = \tan(x/2)$. Ce changement de variable transforme la fonction à intégrer en une fraction rationnelle en $t$ grâce aux formules de trigonométrie :
\[\displaystyle{\tan(x) = \frac{2t}{1-t^2}},\\ \displaystyle{\cos(t) = \frac{1-t^2}{1+t^2}}
\\ \text{et} \\ \displaystyle{\sin(x) =\frac{2t}{1+t^2}}.\]