Réglage de la vitesse et du couple MCC

La $\rm f.é.m~E$ de l’induit de la machine à courant continu s’écrit 

\[\displaystyle \bf{E = \frac{p}{a} \frac{N}{2\pi} \Phi~\Omega}\]

Avec :

• $\rm p =$ nombre de paires de pôles inducteurs
• $\rm a =$ nombre de paires de voies d’enroulement
• $\rm N =$ nombre de conducteurs
• $\Phi =$ flux généré par chaque pôle inducteur (en $\rm Wb$)
• $\Omega =$ vitesse angulaire du rotor (en $\rm rad.s^{-1}$)

On a l’habitude de définir une constante $\rm \displaystyle K = \frac{p}{a} \times \frac{N}{2\pi}$. La $\rm f.é.m~E$ induite aux bornes de l’induit s’écrit alors plus génériquement :

\[\bf{E = K~\Phi~\Omega}\]

Couple électromagnétique

Deux conducteurs diamétralement opposés, traversés par un courant électrique I et placés dans un champ magnétique $\rm \vec B$ sont soumis à un ensemble de 2 forces de Laplace formant un couple. Il en est de même pour tous les ensembles de conducteurs diamétralement opposés. La somme de tous les moments de ces couples constitue le moment du couple électromagnétique $\rm T_{em}$.

Pour un moteur, si l’induit présente une $\rm f.é.m~E$ induite et s’il est parcouru par le courant d’intensité $\rm I$, il reçoit une puissance électromagnétique $\rm P_{em}$ telle que :

\[\bf{P_{em} = E~I}\]

D’après le principe de la conservation d’énergie, cette puissance est égale à la puissance développée par le couple électromagnétique tournant à la vitesse angulaire $\Omega$ :

\[\bf{P_{em} = T_{em}~\Omega}\]

Par conséquent, il existe une relation entre $\rm E$ et $\rm T_{em}$ :

\[\displaystyle \bf{T_{em} = \frac{E.I}{\Omega}}\]

En remplaçant $\rm E$ par son expression $\rm \displaystyle E = \frac{p}{a} \times \frac{N}{2\pi} \times \Phi \times \Omega$, on obtient la relation de $\rm T_{em}$ suivante :

\[\displaystyle\bf{T_{em} = \frac{p}{a} \times \frac{N}{2\pi} \times \Phi \times I}\]

A nouveau, on pose la même constante k que précédemment : $\rm \displaystyle k = \frac{p}{a} \times \frac{N}{2\pi}$. On obtient alors l’expression de $\rm T_{em}$ en fonction de cette constante :

\[\bf{T_{em} = K~\Phi~\Omega}\]

Le moment du couple électromagnétique est indépendant de la vitesse de rotation. Le couple est résistant lorsque la machine fonctionne en génératrice et il est moteur lorsqu’elle fonctionne en moteur.

Lorsque la réaction d’induit est parfaitement compensée, le modèle équivalent de Thevenin de l’induit d’une machine à courant continu se présente sous la forme de l’association série d’une $\rm f.é.m~E$ et d’une résistance $\rm R$.

Ce modèle est parcouru par un courant I et présente une tension $\rm U$ à ses bornes. Le sens du courant $\rm I$ définit le fonctionnement de la machine : elle est motrice quand le sens du courant $\rm I$ et contraire au sens de $\rm E$ et génératrice quand le sens du courant $\rm I$ est identique au sens de $\rm E$, d’où les schémas suivants :

La machine à courant continu étant un convertisseur d’énergie. Cette conversion est nécessairement accompagnée de pertes :

• Les pertes magnétiques : Elles se notent $\rm P_{MAG}$. Elles se localisent au niveau du rotor. Elles sont dues à l’hystérésis et aux courants de Foucault.
• Les pertes Joules : Elles se notent $\rm P_{Je} = R.i{_e}^2$ au niveau de l’inducteur et $\rm P_J = R.I^2$ au niveau de l’induit.
• Les pertes mécaniques : Elles se notent $\rm P_{MECA}$. Elles sont dues au mouvement de rotation du rotor.

On ne considère que le moteur parfaitement compensé :

• Si l’inducteur est bobiné, alors le flux $\Phi$ ne dépend que du courant d’excitation $\rm i_e$
• S’il s’agit d’un moteur à aimants permanents, le flux $\Phi$ est constant
  

Le moteur est alimenté par une source de tension. En régime permanent, le moment du couple utile $\rm T_U$ est égal au moment du couple résistant $\rm T_R$. À vitesse constante, le couple utile égalise le couple résistant $\rm T_R$ :

\[\bf{T_U = T_R \text{ à vitesse constante}}\]

Ce couple utile est lié à la puissance utile $\rm P_U$ reçue par le rotor du moteur et la vitesse angulaire de rotation $\Omega$ par la relation :

\[\bf{P_U = T_U\Omega}\]

Un moteur à excitation indépendante reçoit :

• La puissance électrique $\rm P_a = U.I$ de la source qui alimente l’induit.
• La puissance $\rm P_{Je} = u_e \times i_e$ de la source qui alimente l’inducteur.

On note cette puissance $\rm P_{Je}$ car celle-ci se présente exclusivement sous la forme de pertes Joules dans l’inducteur. Le principe de conservation de l’énergie au niveau de l’induit se traduit par la relation :

\[\bf{P_a = P_u + \Sigma_{PERTES}}\]

$\rm \Sigma_{PERTES}$ représente la somme des pertes de la machine, sans tenir compte de la puissance fournie à l’inducteur $\rm P_{Je}$.

Les pertes sont les suivantes :

• Pertes par effet Joules dans l’induit :

\[\bf{P_J = R.I^2}\]

Avec $\rm R$ étant la résistance de l’induit et $\rm I$ le courant d’induit

• Pertes mécaniques :
  

\[\bf{P_M}\]

Elles sont dues aux divers frottements entre les organes en mouvement et les parties fixes (pertes dues à la ventilation, pertes aux paliers, …)

• Pertes magnétiques ou pertes dans le fer :
  

\[\bf{P_F}\]

Elles sont dues aux courants de Foucault et au phénomène d’hystérésis qui se manifestent dans les parties ferromagnétiques soumises à un champ magnétique variable. Ces pertes sont localisées au niveau du rotor. Elles dépendent du champ magnétique et de la fréquence de rotation du rotor. Par conséquent, lorsque le flux est constant ainsi que la vitesse de rotation, on peut considérer ces pertes constantes.

On peut faire apparaître une puissance intermédiaire qu’est la puissance électromagnétique. En effet, de $\rm U = E + R.I$, on peut obtenir par multiplication par $\rm I$ :

\[\bf{U.I = E.I + R.I^2}\]

Or :

• $\rm P_a = U.I$
• $\rm P_J = R.I^2$
• $\rm P_{em} = E.I$
  

L'arbre des puissanxes visualisant le bilan des puissances du moteur à courant continu est le suivant :

On appelle pertes constantes la somme $\rm P_C = P_M + P_F$

A cette somme de pertes constantes correspond un couple de pertes $/rm T_P$ donné par la relation :

\[\displaystyle \bf{T_P = T_{EM} – T_U = \frac{P_C}{\Omega}}\]

Le rendement du moteur se note de la manière suivante :

\[\displaystyle \bf{\eta = \frac{P_u}{P_a + P_{je}} \qquad P_{ex} = U_e \times i_e}\]

A partir de l’équation électrique $\rm U = E + R~I$, on peut faire apparaître l’équation de régulation de la vitesse en fonction de la tension d’alimentation.

En effet puisque $\rm E = k~\Omega$ soit $\rm k’ n$, l’équation électrique devient : $\rm U = k’ n + R~I$.

Lorsque la charge impose un couple résistant constant, le couple utile le devient aussi, ce qui a pour effet de rendre constant le courant $\rm I$.

Ainsi, à courant $\rm I$ constant, lorsque la tension d’alimentation $\rm U$ du $\rm MCC$ augmente, la vitesse de rotation $\rm n$ augmente également.