Lorsque des dipôles sont associés, en parallèle ou en série, chacun d'entre eux consomment de la puissance active et de la puissance réactive. Il s'agit donc, pour connaître la consommation globale de puissance, de recenser les puissances active et réactive de chaque dipôle et d'e faire la somme des unes et des autres. Le théorème s'énonce donc de la façon suivante :

La puissance active reçue par une association de dipôles est égale à la somme des puissances actives reçues par chaque dipôle.
La puissance réactive reçue par une association de dipôles est égale à la somme des puissances réactives reçues par chaque dipôle.
Les puissances apparentes ne peuvent être additionnées : elles ne se conservent pas.

En électrotechnique, les appareils utilisés sont souvent les mêmes : moteurs, lampes, fours, …Chaque appareil présente un modèle équivalent.

Lampes à incandescence

Une lampe à incandescence se présente comme une simple résistance ; elle n'absorbe donc que de la puissance active et la puissance réactive absorbée est donc nulle.

$$\rm \bf{P = UI \quad \quad Q = 0}$$

Moteur électrique

Un moteur électrique absorbe une puissance électrique $\rm P_a$ et fournit une puissance mécanique, dite puissance utile $\rm P_u$. Des pertes interviennent au cours de la transformation de l'énergie. On définit alors un rendement qui est le rapport de la puissance utile et de la puissance absorbée :

$$\displaystyle \rm \bf{\eta = \frac{P_u}{P_a}}$$

Avec $\eta \in [0~;~1]$

La puissance absorbée $\rm P_a$ s'écrit $\rm P_a = UI \cos \varphi$. La puissance réactive est $\rm Q = UI \sin \varphi$.
Un moteur étant constitué de bobinages, la puissance réactive est toujours positive (il s'agit d'une charge inductive).

Radiateur

Un radiateur, tout comme la lampe à incandescence, se comporte comme une résistance pure. La puissance réactive est donc nulle.

Le tableau de Boucherot

Afin de calculer les puissances absorbées par une installation monophasée, il est bon de recenser les puissances absorbées par chaque famille d'appareils et de les comptabiliser dans un tableau ayant cette présentation :

La puissance apparente totale de l'installation ne s'égalise pas à la somme des puissances apparentes des différents appareils constituants l'installation. Pour calculer $\rm S$, il suffit d'écrire :

$$\displaystyle \rm \bf{S = \sqrt{P^2 + Q^2}}$$

Lorsque l'installation est alimentée en triphasé, la démarche reste strictement la même : il s'agit de recenser les puissances actives et réactives absorbées par chaque appareillage ou chaque groupe d'appareillage ( par exemple : les puissances consommées par $5$ moteurs asynchrones triphasés identiques ).

Les industriels ont pour obligation de présenter un facteur de puissance de leur installation qui soit le plus proche de $1$. Pour cela, il est possible d'adjoindre en dérivation avec l'installation, un composant ne consommant pas de puissance active et fournissant du réactif : il s'agit du condensateur.

On note :

$\rm P$ : puissance active totale absorbée par l'installation ;
$\rm U$ : valeur efficace de la tension d'alimentation ;
$\omega$ : pulsation du réseau ; puisque $\rm \omega = 2 ~\pi ~f$, avec $\rm f = 50~Hz$, $\rm \omega = 314~rad.s^{-1}$ ;
$\varphi$ : déphasage de la tension d'alimentation par rapport au courant avant la mise en parallèle du condensateur
$\varphi '$ : déphasage de la tension d'alimentation par rapport au courant après la mise en parallèle du condensateur

En monophasé :

La capacité du condensateur à placer en parallèle avec l'installation s'écrit :

$$\displaystyle \rm \bf{C = \frac{P}{\omega U^2}}\bf{(tan~\varphi - tan~\varphi')}$$

En triphasé :

Il est nécessaire de disposer de trois condensateurs identiques que l'on branchera en étoile ou en triangle. Pour déterminer la capacité des condensateurs, on utilise la méthode de Boucherot.

Condensateurs en triangle

Le montage est le suivant :

La charge triphasée absorbe les puissances $\rm P$ et $\rm Q$
Un condensateur, soumis à une tension composée $\rm U$, n'absorbe pas de puissance active et absorbe une puissance réactive $\rm Q_c = - C\omega U^2$. Par conséquent, les trois condensateurs absorbent une puissance réactive $\rm Q_{3C} = - 3 ~C\omega U^2$. Le bilan des puissances est le suivant :

Le facteur de puissance de la charge triphasée est $\cos \varphi$ . Le facteur de puissance de l'ensemble charge triphasée $+ 3$ condensateurs est $\cos \varphi'.$
Selon le triangle des puissances, $\tan \varphi'$ est donné par : $\displaystyle \rm \tan \varphi' = \frac{Q_T}{P_T}$

Or $\rm Q_T = Q + Q_c$ donc $\displaystyle \rm \tan \varphi' = \frac{Q+Q_C}{P} = \frac{Q}{P} + \frac{Q_C}{P} = \tan \varphi + \frac{Q_C}{P}$
Donc $\displaystyle \rm \frac{Q_C}{P} = \tan \varphi' - \tan \varphi$
De plus, $\rm Q_c = - 3 C \omega U^2$ par conséquent : $\rm - 3 C \omega U^2 = P (\tan \varphi' - \tan \varphi)$

Finalement, l'expression de $\rm C$ est donné par :

$$\displaystyle \rm \bf{C = \frac{P}{3\omega U^2}(tan~ \varphi - tan ~\varphi')}$$

Condensateurs en étoile

Le montage est le suivant :

$$\rm \displaystyle \bf{C = \frac{P}{3\omega V^2}(tan~ \varphi - tan~ \varphi')}$$

Théorème de Boucherot

📝 Mini-cours GRATUIT

Théorème de Boucherot

NOMAD EDUCATION

L’app unique pour réussir !

Pour profiter de votre abonnement, rendez-vous dans l’app ou sur le site internet, avec le compte email associé à l’achat