Valeur moyenne

Lorsque l'on considère un bac contenant du sable, le niveau de celui-ci peut présenter de nombreuses irrégularités. En passant la main sur la surface du sable, on peut niveler le sable et obtenir une surface lisse en tout point à la même hauteur : on obtient de la sorte un niveau moyen du sable.

Lorsque l'on dispose d'une fonction périodique, on peut isoler un motif d'une durée d'une période $\rm T$.
A l'image du bac à sable, on peut niveler le niveau de la fonction pour obtenir un niveau moyen.
Si on effectue cette démarche pour chaque période du signal, on obtient alors toujours la même valeur moyenne. Par conséquent :

$\quad$ Le calcul d'une valeur moyenne d'un signal périodique s'effectue toujours sur une seule période de ce signal.

Techniques de calcul d'une valeur moyenne

On isole donc une période du signal.

  • Lorsque le signal est de forme (rectangle, carré, triangle), la valeur moyenne se calcule par la méthode des aires

La valeur moyenne est égale à la somme algébrique des surfaces sous la courbe représentant le signal, divisée par la valeur de la période :

  • Pour une tension $<\rm u> ~= \displaystyle U_{moy} = \overline U = \frac{\sum{aires}}{T}$
  • Pour un courant : $<\rm i> ~= \displaystyle I_{moy} = \overline I = \frac{\sum{aires}}{T}$

Règle :

  • Lorsqu'une surface se trouve sous l'axe des temps, cette surface est comptée négativement ;
  • Lorsqu'une surface se trouve au-dessus de l'axe des temps, cette surface est comptée positivement.

Exemple de calculs :

On considère une fonction rectangulaire :

$$<\rm u> ~= \displaystyle \frac{A_1 - A_2}{T}~;~T = 5~ms \\
A_1 = 2 \times 3 = 6~V.ms ~\text{et}~ A_2 = (5 - 3) \times 2,5 = 5~V.ms \\
\text{Soit} < {u} > ~= \displaystyle \frac{6 - 5}{5} = 0,2~V$$

La technique précédente est fastidieuse lorsque l'on a un signal dont la forme géométrique rend difficile le calcul de surface. On utilise alors l'outil intégrale, donnant la valeur exacte de la valeur moyenne :

$$<\rm u> ~= \displaystyle \frac{1}{T}\int_{t}^{t+T}{u(t).dt}$$

Valeur efficace

Définition énergétique de la valeur efficace :

On considère les deux montages suivants :

Les deux montages comportent :

  • Deux résistances strictement identiques ;
  • Les volumes d'eau contenus dans les deux thermos sont identiques ;
  • Les deux thermos ont la même capacité à conserver la chaleur.

Le montage de gauche est alimenté par une source de tension continue $\rm U$ : la résistance chauffante est donc parcourue par un courant continu $\rm I$.
Le montage de droite est alimenté par une source de tension alternative sinusoïdale $\rm u$ : la résistance chauffante est donc parcourue par un courant périodique de valeur instantanée $\rm i$.
Le but de cette manipulation est de déterminer la valeur $\rm I$ du courant continu pour que les deux volumes d'eau, initialement à la même température, voient leur température augmenter au cours du temps de la même façon.
La valeur efficace du courant périodique $\rm i$ est alors définie comme la valeur continue du courant qui permet d'obtenir les mêmes effets calorimétriques, c'est à dire une élévation identique des températures au cours du temps dans les deux thermos. La valeur efficace de $\rm i$ prend donc la valeur $\rm I$.

La valeur efficace d'une grandeur périodique est définie par : 

  • Pour un courant $\mathrm{\displaystyle i : I =\sqrt{<i^2>}}$ 
  • Pour une tension $\mathrm{\displaystyle u : U = \sqrt{<u^2>}}$

Il s'agit de procéder dans l'ordre aux étapes de calcul suivantes :

Cette méthode s'applique lorsque le signal présente des motifs simples (signaux rectangulaires).
Dans le cas contraire, on a recours au calcul intégral :

$$\mathrm{\displaystyle U = \sqrt{\frac{1}{T}\int_T^{t+T}{u^2(t).dt}}}$$