Calcul intégral

1) Intégration par parties (IPP)

a) Formules

Formule d'IPP pour une primitive : $\displaystyle \int u'(x)v(x)\mathrm dx$ $\displaystyle = u(x)v(x) - \int u(x)v'(x)dx$.

Formule d'IPP pour une intégrale: $\displaystyle \int_a^b u'(x)v(x)\mathrm dx$ $\displaystyle = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)dx$.

Remarque :

Une primitive est une fonction alors qu'une intégrale est un nombre positif ou négatif.

b)

Exemples :

Calculons une primitive de $f(x) = x \mathrm e^{-x}$. On choisit $u'(x)=\mathrm e^{-x}$ et $v(x)=x$. Donc $u(x) = -\mathrm e^{-x}$ et $v'(x)=1$.

La formule d'IPP donne :

$\displaystyle \mathrm F(x) = \int xe^{-x}\mathrm dx$ $\displaystyle = u(x)v(x) - \int u(x)v'(x)\mathrm dx$ $= -\mathrm e^{-x}x - \int -\mathrm e^{-x}dx$.

$\displaystyle{\mathrm F(x) = -x\mathrm e^{-x} + \int e^{-x}\mathrm dx$ $= -x\mathrm e^{-x} -\mathrm e^{-x} = -(x+1)\mathrm e^{-x}}$.

Remarque :

On peut vérifier le résultat en dérivant $\mathrm F$. On trouve bien $\mathrm F'=f$ donc $\mathrm F$ est bien une primitive de $f$.

Calculons l'intégrale $\displaystyle{\mathrm I = \int_1^\mathrm e \ln(x)dx}$. 

On choisit $u'(x)=1$ et $v(x)=\ln(x)$. Donc $u(x)=x$ et $v'(x) = 1/x$. D'après la formule d'IPP pour les intégrales, on a :

$\displaystyle \mathrm I = [x\ln(x)]_1^{\mathrm e} - \int_1^{\mathrm ex} \frac{1}{x}dx$ $\displaystyle = \mathrm e\ln(\mathrm e)-1\ln(1) - \int_1^{\mathrm e} 1 dx$ $= \mathrm e - (\mathrm e-1) = 1$

2)

a)

La formule de changement de variable. Le but est de réécrire l'intégrale sous une autre forme de façon à ce que la nouvelle intégrale soit plus simple à calculer.

La méthode est la suivante.

1ère étape :

On définit $u = \varphi(t)$, $t$ étant l'ancienne variable d'intégration et $u$ la nouvelle.

2ème étape :

On dérive l'égalité précédente pour obtenir : $\mathrm du = \varphi'(t) dt$ et on exprime $dt$ en fonction de $u$ et $du$.

3ème étape :

On réécrit l'intégrale en fonction uniquement de la nouvelle variable $u$ et on change les bornes dans le cas d'une intégrale (ou on revient à la variable initiale dans le cas d'une primitive).

b)

Exemples :

On veut calculer $\displaystyle \mathrm I = \int_0^1 \frac{\mathrm e^{4t}}{\mathrm e^{2t}+1}dt$. On ne voit pas de primitive de la fonction à intégrer.

1ère étape :

On décide de poser $u=\mathrm e^{2t}$.

2ème étape :

On a alors $du = 2\mathrm e^{2t} dt$ (car $(\mathrm e^{2t})' = 2\mathrm e^{2t}$). Donc $\displaystyle dt = \frac{du}{2\mathrm e^{2t}} = \frac{1}{2u}du$ car $\mathrm e^{2t}=u$. 

3ème étape :

Lorsque $t = 0$ alors $u=\mathrm e^{2\times 0} =1$. Lorsque $t=1$ alors $u = \mathrm e^{2\times 1} = \mathrm e^2$.

L'intégrale s'écrit $\displaystyle \mathrm I = \int_0^1 \frac{\mathrm e^{4t}}{\mathrm e^{2t}+1}dt$ $\displaystyle= \int_1^{\mathrm e^2} \frac{u^2}{u+1}\frac{1}{2u}du$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \int_1^{\mathrm e^2}\frac{u}{1+u}\mathrm du$.

Pour calculer l'intégrale, on décompose la fraction : $\displaystyle \frac{u}{1+u} = \frac{1+u-1}{1+u}$ $\displaystyle = 1 - \frac{1}{1+u}$.

On a alors $\displaystyle\int_1^{\mathrm e^2}\frac{u}{1+u}{\mathrm d}u$ $\displaystyle = \int_1^{\mathrm e} 1 du - \int_1^{\mathrm e^2} \frac{1}{1+u}du$ $= [u]_1^{\mathrm e^2} - [\ln(1+u)]_1^{\mathrm e^2}$ $= \mathrm e^2-1 - \ln(1+\mathrm e^2) + \ln(2)$.

Donc $\displaystyle \mathrm I = \frac{1}{2}\left(\mathrm e^2-1 - \ln(1+\mathrm e^2) + \ln(2)\right)$.

3) Primitive de polynômes trigonométriques

Il s'agit de somme d'expressions du type $\cos^{p}(x)\sin^{q}(x)$ avec $p$ et $q$ des entiers naturels.

Plusieurs cas sont à envisager.

1er cas :

Si $q$ est impair ET $p$ quelconque alors on fait le changement de variable $y=\cos(x)$.

Exemple :

$\displaystyle \mathrm A(x) = \int \cos^2(x) \sin^3(x)dx$ $\displaystyle = \int \cos^2(x) \sin^2(x)\sin(x)dx$ $\displaystyle = \int \cos^2(x) (1-\cos^2(x)) \sin(x)dx.$

Posons $y = \cos(x)$. Alors $d y = -\sin(x) d x$.

On a donc $\displaystyle \mathrm A(x) = - \int y^2 (1-y^2) dy$ $\displaystyle = -\int (y^2 - y^4)dy$ $\displaystyle = - \frac{y^3}{3} + \frac{y^5}{5}$ $\displaystyle =- \frac{\cos^3(x)}{3} + \frac{\cos^5(x)}{5}.$

Remarque :

Lorsqu'on fait un changement de variable dans une primitive, ne pas oublier de revenir à la variable initiale. Ici, il faut revenir en $x$ c'est-à-dire remplacer $y$ par $\cos(x)$.

2ème cas :

Si $p$ est impair ET $q$ quelconque. C'est le même principe mais ici on fait le changement de variable $y=\sin(x)$.

3ème cas :

Si $p$ et $q$ sont pairs, il faut linéariser l'expression $\cos^p(x)\sin^q(x)$.

Pour linéariser :

• Soit on utilise des formules de trigonométrie si les puissances ne sont pas trop élevées.

Exemple :

Calculer $\displaystyle \mathrm I = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2(x)dx$ (ici $p=2$ et $q=0$).

Une formule de trigonométrie donne $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$ donc $\displaystyle{\cos^2(x) = \frac{1}{2}(1+\cos(2x))}$.

Donc $\displaystyle \mathrm I = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos(2x))dx = \frac{\pi}{4}$.

• Si les puissances $p$ et $q$ sont élevées alors on linéarise à l'aide des formules d'Euler : $\displaystyle{\cos(x) = \frac{1}{2}(\mathrm e^{ix} + \mathrm e^{-ix})}$ et $\displaystyle{\sin(x) = \frac{1}{2i}(\mathrm e^{ix}-\mathrm e^{-ix})}$.

4) Primitive de fractions rationnelles en $\cos(x)$ et $\sin(x)$.

Il s'agit d'un quotient de deux polynômes trigonométriques.

La méthode appelée règle de Bioche repose sur un changement de variable. Notons $f$ la fonction à intégrer.

a)

Lorsque l'expression à intégrer est impaire c'est-à-dire $f(-x)=-f(x)$ alors on fait le changement de variable $y=\cos(x)$. Comme $dy = -\sin(x)d x$, il faut faire apparaître la quantité $\sin(x)dx$.

Exemple :

Calculer $\displaystyle{\int \frac{1}{\sin(x)} dx}$. La fonction $\displaystyle{\frac{1}{\sin(x)}}$ est impaire. Pour faire apparaître la quantité $\sin(x)dx$, on multiplie le numérateur et le dénominateur par $\sin(x)$.

$\displaystyle{\mathrm A(x) = \int \frac{1}{\sin(x)}dx = \int \frac{\sin(x)}{\sin^2(x)}dx}$ $\displaystyle = \int \frac{\sin(x)}{1-\cos^2(x)}dx$.

On fait le changement de variable $y=\cos(x)$. $\displaystyle{\mathrm A(x) = -\int \frac{1}{1 - y^2}dy}$.

La fonction $\displaystyle{\frac{1}{1-y^2}}$ est une fraction rationnelle. Elle se décompose en éléments simples (DES) :

$$\displaystyle \frac{1}{1-y^2} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1-y}+ \frac{1}{1+y}\right).$$

Donc $\displaystyle \mathrm A(x) = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{1-y}dy - \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+y}d y$ $\displaystyle = \frac{1}{2}\ln|1-y| - \frac{1}{2} \ln|1+y|$ $\displaystyle = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1-y}{1+y}\right|.$

En revenant à la variable initiale :

$$\displaystyle \mathrm A(x) = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1-\cos(x)}{1+\cos(x)}\right|$$ $$\mathrm A(x)= \frac{1}{2}\ln\left|\frac{2\sin^2(x/2)}{2\cos^2(x/2)}\right|$$ $$\mathrm A(x) = \ln|\tan(x/2)|.$$

b)

Lorsque l'expression à intégrer vérifie $f(\pi-x)=-f(x)$ alors on fait le changement de variable $y=\sin(x)$. Comme $dy = \cos(x)d x$, il faut faire apparaître la quantité $\cos(x)dx$.

c)

Lorsque l'expression à intégrer est $\pi$-périodique c'est-à-dire $f(x+\pi)=f(x)$ alors on fait le changement de variable $y=\tan(x)$. Comme $dy = (1+\tan^2(x))d x$ ou $\displaystyle{dy = \frac{1}{\cos^2(x)}d x}$, il faut donc faire apparaître la quantité $(1+\tan^2(x))d x$ ou $\displaystyle{dy = \frac{1}{\cos^2(x)}dx}$.

d)

Si l'une des trois règles ci-dessus ne s'applique pas alors on effectue le changement de variable $t = \tan(x/2)$. Ce changement de variable transforme la fonction à intégrer en une fraction rationnelle en $t$ grâce aux formules de trigonométrie :

$\displaystyle{\tan(x) = \frac{2t}{1-t^2}}$, $\displaystyle{\cos(t) = \frac{1-t^2}{1+t^2}}$ et $\displaystyle{\sin(x) =\frac{2t}{1+t^2}}$.