Étude de fonctions

Dérivée d'un produit par un réel

Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et si $k$ est un réel, alors la fonction $k \times u$ est dérivable sur  $I$ et on a :

$(k \times u)' = k \times u'$.

Exemple : $u(x) = 3{x}^2 ; u'(x) = 3\times2x = 6x$.

Dérivée d'un produit

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ de  $\mathbb{R}$ alors $u\times v$ est dérivable sur $I$ et on a :

$(u\times v)' = u'\times v + u\times v'$.

Exemple : $f(x) = 3{x}^2(5x + 2)$$u(x) = 3{x}^2$, $u'(x) = 6x$. $v(x) = 5x + 2$, $v'(x) = 5$. $f '(x) = 6x(5x + 2) + 5\times3{x}^2 = 45{x}^2 + 12x$.

Dérivée d'une fonction rationnelle

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et si $v(x) \neq 0$ pour tout $x$ de $I$ alors $\frac{u}{v}$ est dérivable sur $I$ et on a :

$(\frac{u}{v})' = \frac{u' v - u v'}{{v}^2}$.

Exemple : $f(x) = \frac{3{x}^2}{5x + 2}$. $u(x) = 3{x}^2$, $u'(x) = 6x$. $v(x) = 5x + 2$, $v '(x) = 5$.$f '(x) = \frac{6x(5x + 2) - 5\times 3{x}^2}{{(5x + 2)}^2}$.

Fonction exponentielle
La fonction exponentielle est la fonction $x \mapsto e^{x}$. Elle est définie, continue, dérivable, strictement croissante et strictement positive sur l'ensemble des nombres réels. La fonction exponentielle est sa propre dérivée.
Propriétés :

$e^0 = 1$

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ : $e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$ ; $e^{-a} = \frac{1}{e^{a}}$ ; $e^{a - b} = \frac{e^{a}}{e^{b}}$ ; ${(e^{a})}^{n} = e^{n a}$ ($n$ entier
naturel).

Pour une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$, $e^{u}$ est dérivable sur $I$ et $(e^{u})' = u’ \times e^{u}$ sur cet intervalle.

Fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien définie sur $]0 ; + \infty[$ est la fonction $x \mapsto \ln(x)$ où le nombre réel $\ln(x)$ est l’unique solution de l’équation $e^{y} = x$ d’inconnue $y$.

Elle est définie, continue, dérivable sur l’intervalle $]0 ; + \infty[$.

Pour tout $x \in\:]0 ; + \infty[$, $\ln’(x) = \frac{1}{x} > 0$ donc la fonction $\ln$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.

$\ln(1) = 0$ et $\ln x < 0$ pour $x \in \:]0 ; 1[$ et $\ln x >$ 0 pour $x \in \:]1 ; + \infty[$ car la fonction $\ln$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0 ; + \infty[$.

Propriétés :

Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs : $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$ ; $\ln(\frac{1}{b}) = -\ln(b)$ ;  $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$ ; $\ln({a}^{n}) =
n \ln(a)$ ($n$ entier naturel) ; $\frac{1}{2} \ln(a) = \ln(\sqrt{a})$.

Pour une fonction $u$ strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$, $\ln(u)$ est dérivable sur $I$ et $(\ln(u))’ = \frac{u'}{u}$ sur cet intervalle.