Mécanique des fluides

QU’EST-CE QUE LA MÉCANIQUE DES FLUIDES ?

Lorsqu’un objet est placé dans un fluide en mouvement, des phénomènes de frottements et de turbulences se produisent. La mécanique des fluides est l’étude des mouvements des fluides. La résolution des problèmes de mécanique des fluides nécessite de calculer des paramètres caractéristiques telles que vitesse, pression et densité.

ÉCOULEMENT D’UN FLUIDE DANS UNE CANALISATION

L’écoulement peut suivre plusieurs régimes d’écoulement, selon le type de fluide et sa vitesse, selon la section du conduit et de la rugosité de la paroi. Le nombre de Reynolds $\mathrm{R}$ prend en compte ces facteurs et permet de déterminer le régime d’écoulement, parmi trois types :

• Si $\mathrm{R < 2 ~000}$ : Régime laminaire
• Si $\mathrm{2 000 < R < 3 ~000}$ : Régime transitoire
• Si $\mathrm{R > 3 ~000}$ : Régime turbulent

Le nombre de Reynolds, adimensionnel, se calcule par la relation : 

$\mathrm{R=(\rho \times \ v \times l)/\eta=(v\times l)/k}$

• $\rho$ : masse volumique du fluide $\mathrm{kg.m^{-3})}$ ; $\mathrm{v}$ : vitesse du fluide $\mathrm{(m.s^{-1})}$
• $\mathrm{l}$ : diamètre du conduit $\mathrm{(m)}$ ; $\eta$ : viscosité dynamique du fluide $\mathrm{(Pa.s)}$
• $\mathrm{k}$ : viscosité cinématique du fluide $\mathrm{(m^2.s^{-1})}$

VITESSE MOYENNE D’UN FLUIDE DANS UNE CANALISATION

Le long des parois d’un fluide, les frottements ralentissent le fluide alors qu’au centre de la canalisation, la vitesse est maximale. On définit donc la vitesse moyenne v comme le rapport du débit volumique $\mathrm{q_v}$ sur la surface S de la section de la canalisation : $\mathrm{v=q_v/S}$

• $\mathrm{v}$ : vitesse moyenne $\mathrm{(m.s^{-1})}$
• $\mathrm{q_v}$  : débit volumique $\mathrm{(m^3.s^{-1})}$
• $\mathrm{S}$ : surface de la section $\mathrm{(m^2)}$
  

RELATION DE BERNOULLI

Dans le cas d’un kilogramme de fluide parfait s’écoulant dans une canalisation, d’un point 1 vers un point 2, on peut écrire la relation suivante : 

\[\mathrm{\displaystyle \frac{1}{2} v_2^2+g \times z_2+p_2/\rho=\frac{1}{2} v_1^2+g \times z_1+p_1/\rho}\]

• $\mathrm{\displaystyle \frac{1}{2} v^2}$  : énergie cinétique $\mathrm{(J.kg^{-1})}$ ; $\mathrm{g\times z}$ : énergie potentielle de pesanteur $\mathrm{(J.kg^{-1})}$
• $\mathrm{p/\rho}$ : énergie potentielle de pression $\mathrm{(J.kg^{-1})}$
• $\rho$ : masse volumique du fluide $\mathrm{kg.m^{-3})}$ ; $\mathrm{v}$ : vitesse du fluide $\mathrm{(m.s^{-1})}$
• $\mathrm{g}$ : accélération de la pesanteur $\mathrm{(m.s^{-2})}$ ; $\mathrm{z}$ : cote verticale de la canalisation $\mathrm{(m)}$

Cette relation, reflétant la conservation de l’énergie, peut aussi s’écrire sous la forme :

\[\mathrm{\displaystyle \frac{1}{2} (v_2^2-v_1^2 )+g(z_2-z_1 )+1/ρ (p_2-p_1 )=0}\]

Cas d’un écoulement avec échange de travail

Le fluide échange du travail avec le milieu extérieur : c’est ce qui se passe lorsqu’il traverse une machine, telle qu’une pompe ou une turbine. On appelle cette énergie $\mathrm{W12}$ entre les points 1 et 2 de la canalisation et elle s’exprime en $\mathrm{J.kg^{-1}}$ :

• Lorsque la machine est une pompe, elle fournit l’énergie au fluide :
  $\mathrm{W_{12} > 0}$
• Lorsque la machine est une turbine, elle reçoit l’énergie du fluide :
  $\mathrm{W_{12} < 0}$
  La relation de Bernoulli devient :
  $\mathrm{\displaystyle \frac{1}{2} (v_2^2-v_1^2 )+g(z_2-z_1 )+1/\rho (p_2-p_1 )=W_{12}}$

La puissance $P$ d’une pompe est reliée à ce travail $\mathrm{W_{12}}$ et au débit massique $\mathrm{q_m}$ du fluide traversant cette pompe par :

\[\mathrm{P= W_{12} \times q_m}\]

• $\mathrm{P}$ : puissance de la pompe $\mathrm{(W)}$
• $\mathrm{W_{12}}$  : travail fourni par la pompe $\mathrm{(J.kg^{-1})}$
• $\mathrm{q_m}$ : débit massique du fluide $\mathrm{(kg.m^{-3})}$

Cas d’un écoulement avec pertes de charges

Le fluide perd de l’énergie $\mathrm{J_{12}}$ à cause des frottements le long des parois de la canalisation ou à cause de sa géométrie :

\[\mathrm{J_{12} < 0}\]

La relation de Bernoulli devient :

\[\mathrm{\displaystyle \frac{1}{2} (v_2^2-v_1^2 )+g(z_2-z_1 )+1/\rho (p_2-p_1 )=J_{12}}\]