Polynômes

Théorème à connaître :

• Dans ${\Bbb C}$ : tout polynôme se factorise complètement c'est-à-dire s'écrit en produit de facteurs de degré $1$.
• Dans ${\Bbb R}$ : tout polynôme se factorise en produit de facteurs de degré $1$ et éventuellement en produit de facteurs de degré $2$ à discriminant $< 0$.

Exemple : $\rm X^3-1 = (X-1)(X^2+X+1)$ est la factorisation dans $\rm {\Bbb R}[X]$. Le trinôme $\rm X^2+X+1$ n'est pas plus factorisable dans $\rm {\Bbb R}[X]$.

• Dans $\rm {\Bbb C}[X]$, on peut aller plus loin $\rm X^2+X+1 = (X-j)(X-\overline{j})$ avec $\displaystyle\rm j=e^{\frac{2i\pi}{3}}$ (racine cubique de l'unité).

Donc $\rm X^3-1 = (X-1)(X-j)(X-\overline{j})$ (produit de facteurs de degré $1$).