Thermodynamique et thermique 2

1.    La conduction thermique

• C'est le transfert de chaleur direct entre constituants en contact.
• Le transfert nécessite un support matériel qu'il soit solide, liquide ou gazeux (pas de conduction dans le vide).
• Le transfert se fait sans transport de matière (transfert d'énergie cinétique entre constituants de la matière).
• La conduction est régie par la loi de Fourier :

$$\mathrm{\vec{j_{th}}=-\lambda.\vec{grad}(T)}$$

Avec $\vec{j_{th}}$ la densité de flux de chaleur,
$\lambda$ la conductivité thermique,
$T$ la température.
À une dimension on peut écrire :

$$\mathrm{j_{x\: th}=-\lambda \frac{\partial T}{\partial x}}$$

2.    La convection thermique

• C'est le transfert de chaleur qui s'effectue grâce à un mouvement de matière dans un milieu liquide ou gazeux. Ce phénomène peut être libre ou forcé. 
• Le transfert nécessite un support matériel qu'il soit liquide ou gazeux (pas de convection dans le vide, ni dans les solides).
• Le transfert se fait avec transport de matière.
• La convection est régie par la loi de Newton :

En notant $T_{\infty}$ la température de l'écoulement autour d'une structure à température de surface uniforme $T_S$ et d'aire $A$ :

$$\phi=hA(T_S-T_{\infty})$$

Avec $\phi$ le flux de chaleur convectif,
$h$ le coefficient de transfert thermique.

3.    Le rayonnement thermique

• C'est le transfert de chaleur qui s'effectue par l'intermédiaire d'un champ électromagnétique.
• Le transfert ne nécessite pas forcément un support matériel. Le rayonnement peut donc se produire dans le vide ou dans les milieux matériels qu'ils soient solides, liquides ou gazeux.
• Le transfert se fait sans transport de matière (déplacement d'onde électromagnétique).
• Le rayonnement thermique émis spontanément par des objets ordinaires peut être approximé par un rayonnement de corps noir. L'objet idéal qu'est le corps noir vérifie la loi de Wien et la loi de Stefan-Boltzmann.

La loi de Wien

$$\lambda _{max} = \frac{b}{T}$$

Avec $\lambda _{max}$ la longueur d'onde à laquelle le corps noir émet le plus de flux lumineux énergétique,
$b$ la constante de Wien,
$T$ la température absolue du corps noir.

La loi de Stefan-Boltzmann

$$M^{o}(T) = \sigma T^4$$

Avec $M^{o}(T)$ l'émittance énergétique,
$\sigma$ la constante de Stefan-Boltzmann,
$T$ la température absolue du corps noir.

1.    Équation de la chaleur

Dans le cas de la diffusion de la chaleur, sans processus de création ou de consommation thermique, un bilan d'énergie associé à la loi de Fourier conduit à l'équation de la chaleur :
$$\mathrm{D \Delta T = \frac{ \partial T}{ \partial t}}$$
Avec $D$ le coefficient de diffusion thermique,
$\Delta$ l'opérateur laplacien,
$T$ la température.

Remarque 1 : $\mathrm{D=\frac{\lambda}{\rho.c_p}}$ avec $\lambda$ la conductivité thermique du matériau étudié, $\rho$ sa masse volumique et $\mathrm{c_p}$ sa capacité thermique massique.

Remarque 2 : À une dimension, on peut écrire :
$$\mathrm{D \frac{ \partial ^2 T}{ \partial x^2} = \frac{ \partial T}{ \partial t}}$$

2.    Conduction en régime permanent

On parle de régime permanent ou stationnaire quand les températures ne dépendent pas du temps (elles peuvent dépendre de la position mais pas du temps). Ainsi :

$$\mathrm{ \frac{ \partial T}{ \partial t}= 0}$$

L'équation de la chaleur se résume alors à :

$$\mathrm{D \Delta T = 0}$$

a.    Dans le cas d'une surface plane, la température, $T$ est une fonction affine de la position $x$ :

$$\mathrm{T=T_1+\frac{x-x_1}{e}(T_2-T_1)}$$

Remarque : En faisant l'analogie avec l'électricité, on peut définir la résistance thermique comme le montre la figure ci-dessous.

Ainsi, en série les résistances thermiques s'additionnent, alors qu'en parallèle ce sont les inverses des résistances thermiques qui s'additionnent.

b.    Dans le cas d'une paroi cylindrique :

$$\mathrm{T=T_1+\frac{T_1-T_2}{ln \frac{R_1}{R_2}} ln \frac{R}{R_1}}$$