Convergence des séries numériques

1) Généralités

Définition

Soit $(u_n)_{n \ge 0}$ une suite. On note $S_n = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n}$.

On a donc $S_0 = u_0$ ; $S_{1} = u_{0} + u_{1}$ ; $S_{1} = u_{0} + u_{1}+ u_{2}$ ; $\ldots$

$S_{n}$ s’appelle la somme partielle de rang $n$.

La série de terme générale $u_{n}$ est la donnée de la suite $(S_{n})_{n\ge 0}$ des sommes partielles. On note la note $\displaystyle{\sum_{n\ge 0}}u_n$.

On dit que la série $\displaystyle{\sum_{n\ge 0} u_n}$ converge si la suite $(S_{n})_{n\ge 0}$ converge. Sinon on dit que la série diverge.

Si la série converge la somme de la série notée $\displaystyle{\sum_{n= 0} ^{+\infty}u_n}$ est la limite de la suite $(S_{n})_{n\ge 0}$. Autrement dit

$\displaystyle{\sum_{n= 0} ^{+\infty}u_n = \lim_{n \rightarrow +\infty} S_n}$.

Remarque : ne pas confondre une série notée $\displaystyle{\sum_{n\ge 0} u_n}$ qui est une suite (la suite des sommes partielles) et la somme d’une série notée $\displaystyle{\sum_{n= 0} ^{+\infty}u_n}$ qui est un nombre.

Exemple : considérons la série $\displaystyle{ \sum_{n\ge 1}\frac{1}{n(n+1)} }$.

Pour $n \ge 1$, on a $\displaystyle{ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} }$. Pour calculer cette somme, on décompose la fraction :

$$\displaystyle{\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} }.$$

On a alors pour $n\ge 1$, $\displaystyle{ S_n = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}}$ $\displaystyle = \sum_{k=1}^{n}\left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)$ $\displaystyle = 1 - \frac{1}{n+1}$ (il s’agit d’une somme télescopique).

Quand $n$ tend vers $+\infty$, $(S_n) = \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)$ tend vers $1$.

Donc la série $\displaystyle{ \sum_{n\ge 1}\frac{1}{n(n+1)} }$ converge et la somme de la série vaut $1$.

2) Séries de référence

Théorème :

• La série $\displaystyle{\sum_{n\ge 1} \frac{1}{n^{\alpha}}}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$.
• La série géométrique $\displaystyle{\sum_{n\ge 1} q^n}$ converge si et seulement si $|q|<1$.

3) Série à termes positifs

Il n’est pas toujours possible de calculer la somme partielle d’une série. On dispose de théorèmes qui en comparant le terme général au terme général d’une série de référence permet de conclure quant à sa nature c’est-à-dire sa convergence ou sa divergence.

Ces théorèmes ne s’appliquent qu’à une série à termes positifs ou tout du moins de signe constant.

Remarque : on demande seulement que le terme général soit positif à partir d’un certain rang (APCR).

Théorème :

• Si $0 \le u_n \le v_n$ APCR et si la série $\displaystyle{\sum_{n\ge 1} v_n}$ converge
   alors la série $\displaystyle{\sum_{n\ge 1} u_n}$ converge.
• Si $0 \le u_n \le v_n$ APCR et si la série $\displaystyle{\sum_{n\ge 1} u_n}$ diverge
   alors la série $\displaystyle{\sum_{n\ge 1} v_n}$ diverge.
• Si $0 \le u_n$ APCR , si $u_n = {\rm o}(v_n)$ (ce qui veut dire que $\displaystyle{\frac{u_n}{v_n} \stackrel{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} 0}$) et si la série $\displaystyle{\sum_{n\ge 1} v_n}$ converge alors la série $\displaystyle{\sum_{n\ge 1} u_n}$ converge.
• Si $0 \le u_n$ APCR , si $u_n = {\rm o}(v_n)$ (ce qui veut dire que $\displaystyle{\frac{u_n}{v_n} \stackrel{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} 0}$) et si la série $\displaystyle{\sum_{n\ge 1} u_n}$ diverge alors la série $\displaystyle{\sum_{n\ge 1} v_n}$ diverge.
• Si $0 \le u_n$ APCR , si $u_n \sim v_n$ (ce qui veut dire que $\displaystyle{\frac{u_n}{v_n} \stackrel{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} 1}$) alors les sérise $\displaystyle{\sum_{n\ge 1} u_n}$ et $\displaystyle{\sum_{n\ge 1} v_n}$ sont de même nature.

Exemple : considérons la série $\displaystyle{\sum_{n\ge 1} \frac{1}{n(n+1)}}$.

Posons $\displaystyle{ u_n = \frac{1}{n(n+1)}}$. On a pour tout $n \ge 1$, $u_n \ge 0$. De plus, $u_n \sim \frac{1}{n^2}$.

La série de Riemann $\displaystyle{\sum_{n\ge 1} \frac{1}{n^2}}$ converge (série de Riemann avec $\alpha=2>1$ donc la série. $\displaystyle{\sum_{n\ge 1} \frac{1}{n(n+1)}}$ converge.